Задание 6 ЕГЭ профиль: простейшие уравнения — линейные, тригонометрические, иррациональные, показательные, логарифмические

Что проверяет задание

Задание 6 проверяет умение решать простейшие уравнения одного вида: линейные, квадратные, кубические, тригонометрические, рациональные, иррациональные, показательные или логарифмические. Здесь нет комбинаций из нескольких тем — уравнение решается одним стандартным приёмом без долгих преобразований. Проверяется именно техника: знание формул корней, свойств функций и области допустимых значений (ОДЗ), а также аккуратность вычислений.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичные формулировки:

• «Найдите корень уравнения ...»
• «Найдите корни уравнения ... В ответ запишите наибольший (наименьший, единственный) корень»
• «Решите уравнение ...»

Задание оценивается в 1 первичный балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, которую нужно вписать в бланк. Задание считается одним из самых простых в первой части экзамена, но именно из-за невнимательности к ОДЗ или знакам школьники часто теряют этот балл.

Что нужно знать

• Линейное уравнение: $ax+b=0 \Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}$ (при $a\ne 0$).
• Квадратное уравнение: $ax^2+bx+c=0$, дискриминант $D=b^2-4ac$, корни $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
• Кубическое уравнение вида $ax^3=b$: $x=\sqrt[3]{b/a}$.
• Дробь равна числу: $\dfrac{f(x)}{g(x)}=c$ равносильно $f(x)=c\cdot g(x)$ при условии $g(x)\ne 0$.
• Дробь равна нулю: $\dfrac{f(x)}{g(x)}=0 \Leftrightarrow f(x)=0,\ g(x)\ne 0$.
• Простейшие тригонометрические уравнения: $$\sin x=a \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ $$\cos x=a \Rightarrow x=\pm\arccos a+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$ $$\tan x=a \Rightarrow x=\arctan a+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$
• Табличные значения: $\sin\dfrac{\pi}{6}=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$; $\sin\dfrac{\pi}{4}=\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$; $\sin\dfrac{\pi}{3}=\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}$.
• Иррациональное уравнение: $\sqrt{f(x)}=g(x)$ равносильно системе $\{f(x)=g(x)^2,\ g(x)\ge 0\}$.
• Показательное уравнение: $a^{f(x)}=a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x)=g(x)$ (при $a>0,\ a\ne1$).
• Логарифмическое уравнение: $\log_a f(x)=\log_a g(x) \Leftrightarrow f(x)=g(x)$ при условии $f(x)>0,\ g(x)>0$.
• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b}=b$; $\log_a a^b=b$.
• Смешанное число переводится в дробь: $7\dfrac{3}{7}=\dfrac{7\cdot7+3}{7}=\dfrac{52}{7}$.

Методы решения

1. Метод обратных операций (линейные и дробные уравнения). Если $\dfrac{1}{10x+6}=1$, то знаменатель равен обратному значению правой части: $10x+6=1$, откуда $x=-0{,}5$.

2. Разложение и извлечение корня (квадратные, кубические уравнения). Для $x^3=27$ достаточно извлечь кубический корень: $x=\sqrt[3]{27}=3$. Для квадратных — через дискриминант или теорему Виета.

3. Приведение аргумента к табличному значению (тригонометрия). В уравнении $\cos t=\tfrac12$ сразу вспоминаем: $t=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi n$. Затем выражаем $x$ из аргумента $t$.

4. Возведение в степень с проверкой ОДЗ (иррациональные уравнения). Для $\sqrt{2x+3}=x$ возводим в квадрат: $2x+3=x^2$, решаем квадратное уравнение, а затем проверяем, что $x\ge0$ (иначе корень отбрасывается).

5. Уравнивание показателей или логарифмов (показательные и логарифмические уравнения). Для $3^{x+1}=9$ приводим к одному основанию: $3^{x+1}=3^2$, значит $x+1=2$, $x=1$. Для $\log_2(x-1)=3$ используем определение логарифма: $x-1=2^3=8$, $x=9$ (при условии $x-1>0$).

Алгоритм решения по шагам

1. Определи тип уравнения (линейное, тригонометрическое, иррациональное, показательное, логарифмическое и т.д.) — это подскажет метод.
2. Найди ОДЗ, если уравнение содержит корень, логарифм или дробь со знаменателем.
3. Приведи уравнение к простейшему стандартному виду (одна функция от $x$ равна числу).
4. Реши простейшее уравнение по формуле, соответствующей типу функции.
5. Если решение — серия корней (тригонометрия), выпиши общий вид с параметром $n$ или $k$ и подставляй целые значения, чтобы найти нужный корень (наибольший, наименьший, единственный в промежутке).
6. Проверь найденные значения по ОДЗ и исходному уравнению — отбрось посторонние корни.
7. Запиши окончательный ответ в требуемом формате (целое число или десятичная дробь).

Разбор примеров

Пример 1. Найдите корень уравнения $$\frac{1}{10x+6}=1.$$

Шаг 1. Дробь равна 1, значит её числитель равен знаменателю (при условии, что знаменатель не равен нулю): $$10x+6=1.$$

Шаг 2. Решаем линейное уравнение: $$10x=1-6=-5 \Rightarrow x=-0{,}5.$$

Шаг 3. Проверка ОДЗ: $10\cdot(-0{,}5)+6=-5+6=1\ne 0$ — знаменатель не равен нулю, корень допустим.

Шаг 4. Проверка подстановкой: $\dfrac{1}{1}=1$ — верно.

Ответ: $-0{,}5$.

Пример 2. Найдите корни уравнения $$\cos\frac{\pi(x-7)}{3}=\frac12.$$ В ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Шаг 1. Решаем как простейшее тригонометрическое уравнение. Косинус равен $\tfrac12$ при аргументе: $$\frac{\pi(x-7)}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Шаг 2. Делим обе части на $\pi$, затем умножаем на 3, чтобы избавиться от дроби: $$x-7=\pm 1+6k.$$

Шаг 3. Получаем две серии корней: $$x=8+6k \quad\text{или}\quad x=6+6k.$$

Шаг 4. Перебираем целые значения $k$, чтобы найти отрицательные корни рядом с нулём:

• серия $x=8+6k$: $\dots,-10,-4,2,\dots$ — наибольший отрицательный $-4$;
• серия $x=6+6k$: $\dots,-12,-6,0,6,\dots$ — наибольший отрицательный $-6$ (ноль не считается отрицательным).

Шаг 5. Сравниваем $-4$ и $-6$ — большее значение $-4$.

Ответ: $-4$.

Пример 3. Найдите корень уравнения $$\frac{4}{7}x=7\frac{3}{7}.$$

Шаг 1. Переводим смешанное число в неправильную дробь: $$7\frac{3}{7}=\frac{7\cdot 7+3}{7}=\frac{52}{7}.$$

Шаг 2. Получаем уравнение: $$\frac{4}{7}x=\frac{52}{7}.$$

Шаг 3. Умножаем обе части на $\dfrac{7}{4}$, чтобы выразить $x$: $$x=\frac{52}{7}\cdot\frac{7}{4}=\frac{52}{4}=13.$$

Шаг 4. Проверка: $\dfrac{4}{7}\cdot 13=\dfrac{52}{7}=7\dfrac{3}{7}$ — верно.

Ответ: $13$.

Типичные ошибки и ловушки

• Забывают про ОДЗ: при возведении в квадрат иррационального уравнения появляются посторонние корни, которые нужно отбрасывать.
• В логарифмических уравнениях не проверяют условие положительности подлогарифмического выражения — из-за этого в ответ попадает недопустимый корень.
• В тригонометрических уравнениях путают знак $\pm$ перед $\arccos$ или забывают про периодичность $2\pi n$, из-за чего теряют часть серии корней.
• При работе с дробью $\dfrac{1}{f(x)}=c$ забывают проверить, что знаменатель не равен нулю.
• Ошибаются в переводе смешанных чисел и десятичных дробей в обыкновенные дроби, что искажает весь дальнейший расчёт.
• При поиске «наибольшего отрицательного» или «наименьшего положительного» корня в сериях путаются со знаками и включают ноль как отрицательное число.
• В показательных уравнениях забывают, что основание степени должно быть положительным и не равным единице, и не проверяют этого при использовании метода приведения к одному основанию.

Как готовиться

Отработай отдельно каждую подтему: сначала повтори формулы корней для линейных, квадратных и кубических уравнений, затем — таблицу значений синуса, косинуса и тангенса для стандартных углов. Реши по 10–15 простейших уравнений каждого типа, обращая внимание на ОДЗ и проверку корней. Заведи привычку всегда выписывать условие допустимости (знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма положителен) до того, как начнёшь решать. При работе с тригонометрическими сериями тренируйся быстро находить нужный корень в заданном интервале, подставляя целые значения параметра. Регулярно решай варианты прошлых лет именно на это задание — оно однотипно, и после практики на 20–30 примеров скорость и точность решения выходят на автоматический уровень.