Рациональные уравнения в задании 6 ЕГЭ: простейшие дробные уравнения

О чём эта подтема

Задание 6 профильного ЕГЭ по математике часто проверяет умение решать простейшие рациональные уравнения — те, где неизвестная стоит в знаменателе дроби. Такие уравнения выглядят компактно, но именно компактность часто провоцирует ошибки: школьник забывает про область допустимых значений, неправильно переносит слагаемые или теряет один из корней. Задача этой подтемы — довести до автоматизма один простой, но универсальный алгоритм, который работает для любого уравнения вида «дробь равна числу» или «дробь равна дроби».

В отличие от сложных рациональных уравнений с несколькими дробями и разными знаменателями, здесь речь идёт именно о базовом уровне: одна дробь, в знаменателе — линейное или квадратное выражение, в числителе — число или простое выражение. Экзаменатор проверяет не творческие способности, а точность выполнения стандартных шагов.

Что нужно знать

Для решения простейших рациональных уравнений достаточно четырёх фактов.

1. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — не равен нулю. $$\frac{f(x)}{g(x)}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} f(x)=0,\\ g(x)\ne 0.\end{cases}$$

2. Область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби никогда не может быть равен нулю. Поэтому первый шаг любого решения — определить, при каких $x$ знаменатель обращается в ноль, и исключить эти значения из ответа.

3. Умножение обеих частей уравнения на выражение, не равное нулю, не меняет корней уравнения. Это ключевой приём для избавления от дробей: если знаменатель отличен от нуля (а это мы уже учли через ОДЗ), можно умножить обе части на этот знаменатель и перейти от дробного уравнения к целому (линейному или квадратному).

4. Уравнение $\frac{a}{h(x)}=b$ (где $a,b$ — числа, $b\ne 0$) равносильно уравнению $a=b\cdot h(x)$ при условии $h(x)\ne 0$. Это частный, но самый частый случай в задании 6 — дробь с постоянным числителем приравнивается к числу.

Также полезно помнить формулы разложения квадратного трёхчлена и разности квадратов, если знаменатель — квадратное выражение: $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$ Это помогает быстро находить нули знаменателя без громоздкого решения квадратного уравнения через дискриминант.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения простейшего рационального уравнения состоит из пяти шагов.

Шаг 1. Найти ОДЗ. Приравнять знаменатель дроби к нулю и решить полученное уравнение. Найденные значения $x$ исключаются из множества возможных корней — их нельзя подставлять в исходное уравнение, даже если они «случайно» удовлетворят преобразованному уравнению.

Шаг 2. Избавиться от дроби. Умножить обе части уравнения на знаменатель (который по условию ОДЗ не равен нулю). Дробное уравнение превращается в целое — линейное или квадратное.

Шаг 3. Решить полученное целое уравнение. Если оно линейное — выразить $x$ напрямую. Если квадратное — использовать дискриминант, теорему Виета или формулу разности квадратов.

Шаг 4. Сравнить найденные корни с ОДЗ. Отбросить те значения, которые совпадают с исключёнными на шаге 1 точками (там знаменатель равен нулю, и подстановка даёт деление на ноль).

Шаг 5. Выбрать ответ согласно условию. Если корней несколько, а в задании просят «наименьший» или «больший» корень — выбрать нужный. Если просят все корни — записать все, оставшиеся после отбора по ОДЗ.

Этот алгоритм экономит время: не нужно гадать, где может быть ошибка — достаточно последовательно пройти все пять пунктов. Особенно важен шаг 1: даже если он кажется формальностью, именно на нём чаще всего теряются баллы, когда посторонний корень случайно не отбрасывается.

Разбор примера

Пример 1. Найдите корень уравнения $$\frac{1}{10x+6}=1.$$

Шаг 1. ОДЗ. Знаменатель $10x+6$ не должен быть равен нулю: $$10x+6\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x\ne -0{,}6.$$

Шаг 2. Избавляемся от дроби. Умножаем обе части уравнения на $(10x+6)$ (это допустимо, так как по ОДЗ это выражение не равно нулю): $$1 = 1\cdot(10x+6).$$ Получили целое (линейное) уравнение: $$10x+6=1.$$

Шаг 3. Решаем линейное уравнение. $$10x = 1-6 = -5,$$ $$x = -0{,}5.$$

Шаг 4. Проверяем по ОДЗ. Найденное значение $x=-0{,}5$ не совпадает с исключённым $x=-0{,}6$, значит корень допустим.

Шаг 5. Проверка подстановкой. $10\cdot(-0{,}5)+6=-5+6=1$, тогда $\frac{1}{1}=1$ — равенство верно.

Ответ: $x=-0{,}5$.

Этот пример показывает самый простой случай: числитель — число, знаменатель — линейное выражение. Умножение на знаменатель мгновенно сводит задачу к линейному уравнению.

Пример 2. Найдите корень уравнения $$\frac{9}{x^2-16}=1.$$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Шаг 1. ОДЗ. Знаменатель $x^2-16$ не должен обращаться в ноль: $$x^2-16\ne 0 \quad\Rightarrow\quad x^2\ne 16 \quad\Rightarrow\quad x\ne 4,\; x\ne -4.$$ Здесь удобно применить разность квадратов: $x^2-16=(x-4)(x+4)$, откуда сразу видно, что нули знаменателя — это $x=4$ и $x=-4$.

Шаг 2. Избавляемся от дроби. Умножаем обе части на $(x^2-16)$, помня, что по ОДЗ это выражение не равно нулю: $$9 = 1\cdot(x^2-16).$$ Получили квадратное уравнение: $$x^2-16=9.$$

Шаг 3. Решаем квадратное уравнение. $$x^2 = 9+16 = 25,$$ $$x = \pm 5.$$ Получили два корня: $x_1=5$ и $x_2=-5$.

Шаг 4. Проверяем по ОДЗ. Исключённые значения — это $4$ и $-4$. Оба найденных корня ($5$ и $-5$) не совпадают с ними, значит оба допустимы.

Шаг 5. Выбор ответа согласно условию. В задании сказано: если корней больше одного, записать больший. Больший из корней $5$ и $-5$ — это $5$.

Проверка подстановкой. Для $x=5$: $x^2-16=25-16=9$, тогда $\frac{9}{9}=1$ — верно.

Ответ: $x=5$.

Второй пример иллюстрирует важный момент: даже когда после умножения на знаменатель получается квадратное уравнение с двумя корнями, оба они могут оказаться допустимыми — отбор по ОДЗ не всегда «выбраковывает» корень, но проверка обязательна в любом случае.

Типичные ошибки

Забыли про ОДЗ. Самая частая ошибка — не проверить, что найденный корень не обращает знаменатель в ноль. Если в похожем уравнении корень квадратного уравнения случайно совпадёт с нулём знаменателя, такой «корень» нужно отбросить, а не включать в ответ.

Неверно умножили обе части на выражение с переменной. Иногда школьники умножают только одну часть уравнения на знаменатель или забывают домножить свободный член. Важно: умножать нужно обе части уравнения целиком, сохраняя равенство.

Ошибка в знаке при переносе слагаемых. При решении линейного уравнения типа $10x+6=1$ легко ошибиться и написать $10x=1+6$ вместо верного $10x=1-6$. Стоит всегда явно проверять, какое слагаемое переносится и как меняется его знак.

Потеря одного из корней квадратного уравнения. Уравнение вида $x^2=25$ имеет два корня: $x=5$ и $x=-5$. Забыть про отрицательный корень — распространённая невнимательность, особенно в спешке на экзамене.

Неверный выбор ответа при нескольких корнях. Если в условии сказано «запишите больший корень» или «запишите меньший корень», а школьник в итоговом ответе указывает не тот корень (например, путает знак при сравнении отрицательных чисел), это приводит к потере балла даже при верном решении. Нужно чётко сравнивать числа: например, $5 > -5$, значит больший корень — это $5$, а не $-5$.

Неправильное разложение разности квадратов или трёхчлена. При работе с квадратным знаменателем полезно сразу применять формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ — это ускоряет нахождение нулей знаменателя и снижает риск арифметической ошибки по сравнению с вычислением дискриминанта.

На что обратить внимание на экзамене

При решении задания 6 на экзамене стоит придерживаться чёткого порядка действий и не пропускать формальные, но важные шаги.

Во-первых, всегда начинайте с определения ОДЗ — это должно стать автоматическим первым действием, даже если кажется, что уравнение простое и «явно не будет проблем». Запишите условие на знаменатель отдельной строкой, чтобы потом было легко сверить с ним найденные корни.

Во-вторых, после умножения обеих частей на знаменатель обязательно решайте полученное целое уравнение аккуратно, следя за знаками при переносе слагаемых. Если уравнение квадратное — не забывайте, что корней может быть два, и оба нужно проверить.

В-третьих, внимательно читайте формулировку задания: некоторые варианты просят записать «наименьший корень», другие — «наибольший», третьи — «сумму корней» или «произведение корней». Пропуск этого условия приводит к правильному решению, но неверному итоговому ответу.

В-четвёртых, если время позволяет, сделайте финальную проверку подстановкой найденного корня в исходное (не преобразованное) уравнение. Это займёт меньше минуты, но полностью исключает ошибки вычисления и гарантирует, что корень действительно принадлежит ОДЗ.

Наконец, не бойтесь использовать формулы сокращённого умножения (разность квадратов, квадрат суммы или разности) для быстрого разложения знаменателя на множители — это экономит время по сравнению с вычислением дискриминанта и снижает вероятность арифметической ошибки при поиске точек, где знаменатель обращается в ноль.