ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Рациональные уравнения

Задача 77366. Рациональные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 62.1.1 Квадратные уравнения2.1.2 Рациональные уравнения

Найдите корень уравнения дробь: числитель: 9, знаменатель: x в квадрате минус 16 конец дроби =1. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

В подтеме 10 задач
Разбор
Главная идея: Произведение крест-накрест: если дробь равна единице, то числитель равен знаменателю; далее решаем получившееся квадратное уравнение и выбираем больший корень.

Начнём с уравнения 9x2−16=1\frac{9}{x^2 - 16} = 1.

Шаг 1: избавляемся от дроби. Чтобы убрать знаменатель, умножим обе части на (x2−16)(x^2 - 16). Это можно делать, так как x2−16≠0x^2 - 16 \neq 0 (иначе знаменатель не существует): 9=x2−169 = x^2 - 16

Шаг 2: переносим константу. Перенесём −16-16 в левую часть: x2=25x^2 = 25

Шаг 3: извлекаем корень. Из уравнения x2=25x^2 = 25 получаем два корня: x=5илиx=−5x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5

Шаг 4: проверяем, что корни не обнуляют знаменатель. Знаменатель x2−16=0x^2 - 16 = 0 при x=±4x = \pm 4. Наши корни x=5x = 5 и x=−5x = -5 этим условиям не удовлетворяют, значит оба корня допустимы.

Шаг 5: выбираем больший корень. Поскольку 5>−55 > -5, ответ — больший из двух корней.

Типичные ошибки

  • Забыть, что уравнение имеет два корня, и записать только положительный (или только отрицательный), не заметив требование выбрать больший.
  • Допустить ошибку при решении квадратного уравнения x2=25x^2 = 25 — например, записать только x=5x = 5 или неправильно извлечь корень.
  • Не проверить, что найденные корни не обнуляют знаменатель (хотя в этом случае они допустимы).

Похожие задачи (другие числа)