Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Рациональные уравнения

Перед нами уравнение с двумя дробями, у которых одинаковые числители: $$\frac{x - 6}{7x + 3} = \frac{x - 6}{5x - 1}$$

Дроби равны в двух случаях:

Случай 1: числители равны нулю

Если $x - 6 = 0$, то $x = 6$. Проверим, что знаменатели при этом не равны нулю:

• $7 \cdot 6 + 3 = 45 \neq 0$ ✓
• $5 \cdot 6 - 1 = 29 \neq 0$ ✓

Значит, $x = 6$ — корень уравнения.

Случай 2: знаменатели равны друг другу

Если числители одинаковы и дроби равны, то могут быть равны и знаменатели: $$7x + 3 = 5x - 1$$ $$7x - 5x = -1 - 3$$ $$2x = -4$$ $$x = -2$$

Проверим, что числитель не равен нулю: $-2 - 6 = -8 \neq 0$ ✓. Проверим знаменатели:

• $7 \cdot (-2) + 3 = -11 \neq 0$ ✓
• $5 \cdot (-2) - 1 = -11 \neq 0$ ✓

Значит, $x = -2$ — тоже корень уравнения.

Уравнение имеет два корня: $x = 6$ и $x = -2$. Больший из них — это $6$.