Задача 77367. Рациональные уравнения

Шаг 1. Область определения

Знаменатель не может быть равен нулю: $2x^2 - 7 \neq 0$, то есть $x^2 \neq 3,5$.

Шаг 2. Приведение к полиному

Умножим обе части уравнения на знаменатель $2x^2 - 7$: $$13x = 2x^2 - 7$$

Перенесём всё в одну сторону: $$2x^2 - 13x - 7 = 0$$

Шаг 3. Решение квадратного уравнения

Применим формулу корней для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$: $$D = b^2 - 4ac = 169 + 56 = 225$$ $$\sqrt{D} = 15$$

$$x = \frac{13 \pm 15}{4}$$

Первый корень: $x_1 = \frac{13 + 15}{4} = \frac{28}{4} = 7$

Второй корень: $x_2 = \frac{13 - 15}{4} = \frac{-2}{4} = -0,5$

Шаг 4. Проверка области определения

Для $x = 7$: $2 \cdot 49 - 7 = 91 \neq 0$ ✓

Для $x = -0,5$: $2 \cdot 0,25 - 7 = -6,5 \neq 0$ ✓

Оба корня допустимы. Меньший из них: $-0,5$.