Задание 6 ЕГЭ: простейшие тригонометрические уравнения

О чём эта подтема

Задание 6 профильного ЕГЭ часто содержит простейшее тригонометрическое уравнение вида $\sin(kx+b)=a$, $\cos(kx+b)=a$ или $\tan(kx+b)=a$. От школьника требуется не просто решить уравнение, а ещё и выполнить дополнительное условие: найти наибольший отрицательный корень, наименьший положительный корень, сумму корней на заданном промежутке и т.п.

Особенность этой подтемы в том, что сама тригонометрическая часть решается по стандартным формулам, а основная сложность и основная часть ошибок связаны со вторым этапом — работой с параметром $k$ (целочисленным индексом серии решений) и отбором нужного корня. Именно поэтому важно не просто помнить формулы, а уверенно совершать алгебраические преобразования и аккуратно подставлять целые значения.

Задание оценивается в 1 первичный балл, тип ответа — короткий (число), поэтому цена арифметической ошибки высока: неверный знак или неверно найденное значение $k$ сразу обнуляет весь балл.

Что нужно знать

1. Табличные значения синуса, косинуса и тангенса. Без уверенного знания значений для углов $0$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{2}$ и им кратных двигаться дальше бессмысленно.

2. Формулы общих решений простейших уравнений.

Для синуса: $$\sin t = a \;\Rightarrow\; t=(-1)^n\arcsin a + \pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Для косинуса: $$\cos t = a \;\Rightarrow\; t=\pm\arccos a + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Для тангенса: $$\tan t = a \;\Rightarrow\; t=\arctan a + \pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Для котангенса: $$\cot t = a \;\Rightarrow\; t=\operatorname{arccot} a + \pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

3. Область значений синуса и косинуса. Если правая часть по модулю больше 1, уравнение с синусом или косинусом корней не имеет — это нужно проверять сразу.

4. Умение работать с линейным аргументом. Если аргумент имеет вид $kx+b$ (а не просто $x$), после применения формулы общего решения нужно выразить $x$ через параметр целочисленной серии — это отдельное алгебраическое действие, которое часто выполняют невнимательно.

5. Понятие «наибольший отрицательный» и «наименьший положительный» корень. Нужно чётко понимать: ноль не считается ни положительным, ни отрицательным числом. Отбор корня выполняется путём подбора целых значений параметра серии и сравнения полученных чисел.

6. Периодичность и связь между сериями. Если получено несколько серий корней (например, из знака $\pm$ в косинусе), каждую серию нужно анализировать отдельно, а затем сравнивать результаты между сериями.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задания 6 практически всегда одинаков.

Шаг 1. Определить тип уравнения. Посмотреть, какая тригонометрическая функция стоит в уравнении — синус, косинус, тангенс или котангенс, и какое значение стоит в правой части.

Шаг 2. Проверить область значений (для синуса и косинуса). Если $|a|>1$, решений нет — задача сразу закрывается.

Шаг 3. Применить формулу общего решения. Записать корень уравнения относительно аргумента (то есть относительно всего выражения $kx+b$), используя нужную формулу из раздела «Что нужно знать».

Шаг 4. Выразить $x$. Если аргумент — линейное выражение от $x$, нужно решить полученное уравнение относительно $x$: перенести слагаемые, разделить на коэффициент при $x$. Важно не потерять и не исказить целочисленный параметр серии — после деления он остаётся произвольным целым числом, но множитель при нём может измениться.

Шаг 5. Если получилось несколько серий (обычно при $\pm$ в формуле косинуса), рассмотреть каждую по отдельности.

Шаг 6. Выполнить отбор корня по условию задачи. Подставлять в формулу серии целые значения параметра ($\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$), выписывать соответствующие значения $x$ и находить нужное — наибольшее отрицательное, наименьшее положительное, сумму на отрезке и т.д. Удобно двигаться от нуля в обе стороны, пока не станет ясно, где искомый корень.

Шаг 7. Сравнить результаты между сериями (если их несколько) и выбрать окончательный ответ.

Шаг 8. Сделать проверку — подставить найденное значение $x$ в исходное уравнение и убедиться, что равенство выполняется.

Разбор примера

Пример 1

Условие: найдите корни уравнения $$\cos\frac{\pi(x-7)}{3}=\frac12,$$ и в ответ запишите наибольший отрицательный корень.

Шаг 1–2. Уравнение с косинусом, правая часть $\tfrac12$, по модулю не больше 1 — решения существуют.

Шаг 3. Косинус равен $\tfrac12$ при аргументах $\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k$, поскольку $\arccos\tfrac12=\dfrac{\pi}{3}$. Значит: $$\frac{\pi(x-7)}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Шаг 4. Разделим обе части на $\pi$ и умножим на 3, чтобы избавиться от дроби: $$x-7=\pm 1+6k.$$ Отсюда: $$x=8+6k\quad\text{или}\quad x=6+6k.$$

Шаг 5. Получили две серии решений — рассматриваем каждую отдельно.

Шаг 6. Отбор наибольшего отрицательного корня.

Серия $x=8+6k$: подставляем целые значения $k$:

• $k=-1$: $x=8-6=2$;
• $k=-2$: $x=8-12=-4$;
• $k=-3$: $x=8-18=-10$.

Отрицательные числа в этой серии: $\dots,-10,-4$. Наибольший отрицательный из них — $-4$.

Серия $x=6+6k$: подставляем:

• $k=0$: $x=6$;
• $k=-1$: $x=0$;
• $k=-2$: $x=-6$.

Число $0$ не является отрицательным, поэтому наибольший отрицательный в этой серии — $-6$.

Шаг 7. Сравнение серий. Из чисел $-4$ и $-6$ больше $-4$ (оно ближе к нулю). Значит, окончательный ответ — $-4$.

Шаг 8. Проверка. При $x=-4$: $\dfrac{\pi(-4-7)}{3}=\dfrac{-11\pi}{3}$. Приведём угол по модулю $2\pi$: $-\dfrac{11\pi}{3}+4\pi=\dfrac{\pi}{3}$, а $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ — верно.

Ответ: $-4$.

Пример 2

Условие: решите уравнение $\tan\left(\dfrac{\pi x}{4}\right)=-1$ и найдите наибольший отрицательный корень.

Шаг 1. Уравнение с тангенсом, область значений тангенса — все действительные числа, ограничений нет.

Шаг 3. Используем формулу $\tan t=a \Rightarrow t=\arctan a+\pi k$. Так как $\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$, получаем: $$\frac{\pi x}{4}=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Шаг 4. Умножим обе части на $\dfrac{4}{\pi}$: $$x=-1+4k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Шаг 6. Отбор наибольшего отрицательного корня. Подставляем целые значения $k$:

• $k=0$: $x=-1$;
• $k=1$: $x=3$;
• $k=-1$: $x=-5$;
• $k=-2$: $x=-9$.

Отрицательные корни в порядке возрастания по модулю удаления от нуля: $-1,-5,-9,\dots$. Наибольший отрицательный (ближайший к нулю) — это $-1$.

Шаг 8. Проверка. $\tan\left(\dfrac{\pi\cdot(-1)}{4}\right)=\tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1$ — верно.

Ответ: $-1$.

Оба примера показывают общую логику: после нахождения общей формулы решения главный источник ошибок — не сама тригонометрия, а аккуратный перебор целых значений параметра и сравнение полученных чисел.

Типичные ошибки

Путаница знаков в формуле для косинуса. Часто забывают, что перед $\arccos a$ должен стоять знак $\pm$, а не только $+$. Это приводит к потере половины серии корней.

Неверное деление уравнения на коэффициент при $x$. Если аргумент имеет вид $kx+b$, при выражении $x$ параметр серии тоже должен быть поделён на $k$, а не просто перенесён без изменений. Ошибка в этом шаге меняет весь набор корней.

Забывают знак чередования $(-1)^n$ для синуса. Формула $t=(-1)^n\arcsin a+\pi n$ отличается от формулы для косинуса, и её нередко путают, записывая через $\pm$.

Ноль ошибочно относят к положительным или отрицательным числам. При отборе наибольшего отрицательного или наименьшего положительного корня это критическая ошибка: ноль не входит ни в одну из этих категорий.

Неаккуратный перебор значений параметра. Иногда school-ники подставляют значения $k$ хаотично и пропускают нужный корень. Правильнее двигаться последовательно от $k=0$ в обе стороны (к положительным и отрицательным значениям), пока не станет ясно, где лежит искомое значение.

Игнорирование области значений синуса и косинуса. Если правая часть уравнения по модулю больше единицы, решения не существует, но иногда школьники всё равно пытаются применить формулу и получают неверный ответ вместо констатации отсутствия корней.

Ошибка при работе с несколькими сериями. Когда решений получается две серии (обычно из-за $\pm$), нередко забывают проверить обе серии и сравнить результаты между собой, ограничиваясь только одной.

Вычислительные ошибки при упрощении дробей. Умножение и деление на $\pi$ и на коэффициенты при переходе от аргумента к $x$ — частый источник арифметических опечаток, особенно под давлением времени на экзамене.

На что обратить внимание на экзамене

Перед началом решения полезно сразу выписать формулу общего решения для нужной функции — это экономит время и снижает риск перепутать знаки. Стоит сразу проверять область значений: если в правой части стоит число больше 1 или меньше $-1$ для синуса или косинуса, ответ очевиден без дальнейших вычислений.

При выражении $x$ из аргумента полезно выполнять преобразования аккуратно, шаг за шагом, не пропуская промежуточные действия — это уменьшает риск арифметической ошибки. После получения формулы серии корней стоит сразу же уточнить у себя, какое именно значение просит найти условие: наибольший отрицательный, наименьший положительный, число корней на отрезке или их сумма — и действовать целенаправленно, а не искать все возможные корни без разбора.

При отборе значений параметра рекомендуется составлять небольшую таблицу: значение параметра — соответствующее значение $x$. Это наглядно и помогает не запутаться, особенно если серий несколько.

Обязательно нужно делать финальную проверку — подставлять найденный корень в исходное уравнение. Это самый надёжный способ поймать ошибку до сдачи работы. Также полезно перепроверить, что для нуля правильно определено, является ли он положительным, отрицательным или ни тем, ни другим — это частая ловушка в подобных заданиях.

Наконец, стоит помнить, что задание 6 не требует сложных преобразований самого тригонометрического выражения — обычно оно уже дано в виде, готовом для применения табличной формулы. Основные баллы здесь теряются не из-за незнания тригонометрии, а из-за невнимательности на этапе алгебраических преобразований и отбора корня, поэтому именно этим этапам стоит уделить особое внимание при тренировке.