Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения

Нужно решить уравнение $\sin\frac{\pi x}{3} = 0,5$.

Синус равен 0,5 при двух углах на периоде $[0; 2\pi)$: $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. С учётом периодичности синуса получаем совокупность: $$\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \frac{\pi x}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Разделим обе части каждого уравнения на $\pi$ и умножим на 3:

Первое семейство: $\frac{\pi x}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ → $x = \frac{1}{2} + 6k$

Второе семейство: $\frac{\pi x}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ → $x = \frac{5}{2} + 6k$

Теперь выберем наименьший положительный корень:

• При $k \leq -1$ оба семейства дают отрицательные значения
• При $k = 0$: из первого семейства $x = 0,5$, из второго $x = 2,5$
• При $k \geq 1$ корни становятся больше

Наименьший положительный корень равен $0,5$.