ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Тригонометрические уравнения

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Тригонометрические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Тригонометрические уравнения2.1.4 Тригонометрические уравнения

Решите уравнение тангенс дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби = минус 1. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

В подтеме 3 задач
Разбор
Главная идея: Привести тригонометрическое уравнение к стандартному виду, применить формулу общего решения для тангенса, найти все корни и выбрать из них наибольший отрицательный.

Решаем уравнение tan⁡(πx4)=−1\tan\left(\frac{\pi x}{4}\right) = -1.

Используем формулу общего решения уравнения tan⁡(t)=a\tan(t) = a: если tan⁡(t)=a\tan(t) = a, то t=arctan⁡(a)+πkt = \arctan(a) + \pi k, где k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Знаем, что tan⁡(−π4)=−1\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1. Применяем формулу: πx4=−π4+πk\frac{\pi x}{4} = -\frac{\pi}{4} + \pi k

Умножаем обе части на 4π\frac{4}{\pi}, чтобы выразить xx: x=−1+4k,k∈Zx = -1 + 4k, \quad k \in \mathbb{Z}

Получили семейство корней. Подставляем разные значения kk:

  • k=−2k = -2: x=−1−8=−9x = -1 - 8 = -9
  • k=−1k = -1: x=−1−4=−5x = -1 - 4 = -5
  • k=0k = 0: x=−1x = -1
  • k=1k = 1: x=−1+4=3x = -1 + 4 = 3

Отрицательные корни: ..., −9-9, −5-5, −1-1.

Наибольший среди них — это −1-1 (так как −1>−5>−9-1 > -5 > -9).

Проверка: tan⁡(π⋅(−1)4)=tan⁡(−π4)=−1\tan\left(\frac{\pi \cdot (-1)}{4}\right) = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 ✓

Типичные ошибки

  • Забывают добавить πk\pi k вместо 2πk2\pi k (в формуле для тангенса период π\pi, а не 2π2\pi)
  • Неправильно сравнивают отрицательные числа — путают «наибольший отрицательный» с «по модулю наибольший»
  • Ошибки при преобразовании уравнения: неправильно умножают на 4π\frac{4}{\pi} или теряют коэффициент при kk
Непонятно?

Похожие задачи