Логарифмические уравнения в задании 6 ЕГЭ: простейший случай

О чём эта подтема

В задании 6 профильного ЕГЭ часто встречаются простейшие логарифмические уравнения вида $\log_a f(x) = b$, где $a$ и $b$ — числа, а $f(x)$ — линейное выражение относительно $x$. Такие уравнения решаются напрямую по определению логарифма, без сложных преобразований, замен переменных или систем. Это одна из самых «дешёвых» по времени задач экзамена: если знать определение логарифма и не забывать про область допустимых значений, решение занимает меньше минуты.

Важно понимать: несмотря на кажущуюся простоту, именно на таких заданиях чаще всего теряют баллы из-за невнимательности — забывают проверить знак аргумента, путают основание с аргументом или ошибаются в арифметике при вычислении степени.

Что нужно знать

Для решения простейших логарифмических уравнений достаточно твёрдо знать несколько фактов.

Определение логарифма. Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется такое число $c$, что $a^c = b$. Записывается это так: $$\log_a b = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b$$ При этом должны выполняться условия: $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ). Логарифм определён только для положительного аргумента. Если уравнение имеет вид $\log_a f(x) = b$, то обязательно должно выполняться: $$f(x) > 0$$ Это условие нужно либо проверить после нахождения корня (подставив найденное значение), либо учитывать при поиске решения — если корней несколько.

Основание логарифма в задачах этого типа — чаще всего фиксированное число (2, 3, 5, 10 и т.д.), а не переменная, поэтому дополнительных ограничений на $x$ через основание накладывать не нужно.

Свойство единственности решения. Поскольку показательная функция $y = a^x$ при $a > 0$, $a \neq 1$ монотонна (строго возрастает при $a>1$ и строго убывает при $0<a<1$), уравнение $a^c = f(x)$ имеет не более одного решения относительно $x$, если $f(x)$ линейна. Это значит, что при решении простейшего логарифмического уравнения с линейным аргументом всегда получается либо один корень, либо его нет вовсе (если ОДЗ не выполняется).

Умение вычислять степени. Нужно быстро считать $2^7$, $5^2$, $3^4$ и подобные выражения — без калькулятора, в уме или на черновике.

Работа с линейными уравнениями. После перехода от логарифмического уравнения к показательному остаётся решить простое линейное уравнение относительно $x$ — перенести слагаемые и найти корень.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения уравнения вида $\log_a f(x) = b$ состоит из четырёх шагов.

Шаг 1. Определить основание, аргумент и правую часть. В уравнении $\log_a f(x) = b$ нужно чётко выделить: $a$ — основание логарифма, $f(x)$ — аргумент (обычно линейное выражение), $b$ — число, которому равен логарифм.

Шаг 2. Перейти от логарифмической формы к показательной по определению. Используем ключевое соотношение: $$\log_a f(x) = b \quad \Rightarrow \quad f(x) = a^b$$ Это главный переход, который снимает логарифм и превращает уравнение в обычное алгебраическое.

Шаг 3. Вычислить $a^b$ и решить полученное линейное уравнение. После подстановки числового значения $a^b$ остаётся линейное уравнение относительно $x$, которое решается стандартно: переносим слагаемые, приводим подобные, находим $x$.

Шаг 4. Проверить ОДЗ и сделать проверку. Подставляем найденный корень в исходный аргумент $f(x)$ и убеждаемся, что $f(x) > 0$. Если условие выполняется — корень подходит. Дополнительно полезно подставить найденное значение в исходное уравнение и убедиться, что равенство верно — это исключает арифметические ошибки.

Этот алгоритм универсален для всех простейших логарифмических уравнений задания 6 и не требует никаких дополнительных приёмов вроде замены переменной или свойств логарифмов (сложение, вычитание логарифмов и т.п.) — они появляются в более сложных задачах, не в этом типе.

Разбор примера

Пример 1. Найдите корень уравнения $\log_2(4 - x) = 7$.

Шаг 1. Основание логарифма $a = 2$, аргумент $f(x) = 4 - x$, правая часть $b = 7$.

Шаг 2. Переходим к показательной форме по определению логарифма: если $\log_2(4-x) = 7$, то $$2^7 = 4 - x$$

Шаг 3. Вычисляем степень: $$128 = 4 - x$$ Решаем линейное уравнение — переносим $x$ в левую часть, а $128$ — в правую: $$x = 4 - 128$$ $$x = -124$$

Шаг 4. Проверяем ОДЗ: подставляем найденный корень в аргумент логарифма: $$4 - (-124) = 128 > 0$$ Условие положительности аргумента выполнено, значит корень допустим.

Дополнительная проверка: $\log_2(128) = \log_2(2^7) = 7$ — равенство верно.

Ответ: $x = -124$.

Пример 2. Найдите корень уравнения $\log_5(4 + x) = 2$.

Шаг 1. Основание $a = 5$, аргумент $f(x) = 4 + x$, правая часть $b = 2$.

Шаг 2. По определению логарифма: если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применяем это к нашему случаю: $$\log_5(4+x) = 2 \quad \Rightarrow \quad 5^2 = 4 + x$$

Шаг 3. Вычисляем степень: $$25 = 4 + x$$ Решаем линейное уравнение, перенося $4$ в левую часть: $$x = 25 - 4 = 21$$

Шаг 4. Проверяем ОДЗ: подставляем корень в аргумент: $$4 + 21 = 25 > 0$$ Условие выполнено.

Проверка подстановкой в исходное уравнение: $\log_5(4+21) = \log_5(25) = \log_5(5^2) = 2$ — равенство верно.

Ответ: $x = 21$.

Оба примера показывают одну и ту же логику: снять логарифм переходом к степени, решить получившееся линейное уравнение и обязательно проверить, что аргумент логарифма положителен при найденном значении $x$.

Типичные ошибки

Ошибка в переходе от логарифма к степени. Часто путают, что чему равно: пишут $b^a$ вместо $a^b$, то есть меняют местами основание логарифма и показатель. Нужно чётко запомнить: основание логарифма становится основанием степени, а значение логарифма — показателем степени.

Забывают про ОДЗ. Даже если уравнение решено арифметически верно, не проверяется, что аргумент логарифма положителен. В простейших уравнениях с линейным аргументом корень почти всегда проходит проверку, но привычку проверять нужно выработать заранее — в более сложных задачах (с квадратичным аргументом или несколькими корнями) это критично.

Ошибки при переносе слагаемых. При решении линейного уравнения после снятия логарифма (особенно если аргумент содержит вычитание, как $4 - x$) легко ошибиться со знаком при переносе $x$ в другую часть уравнения. Стоит внимательно следить за знаками на каждом шаге.

Арифметические ошибки при вычислении степени. Неправильно вычисленное значение $a^b$ (например, $2^7 = 128$, а не $14$ или $256$) сразу приводит к неверному ответу. Полезно держать в памяти таблицу степеней чисел 2, 3, 5, 10 хотя бы до показателя 5–7.

Путаница между основанием логарифма и переменной. Иногда основание логарифма записано как дробь или содержит корень (например, $\log_{1/2}$ или $\log_{\sqrt{3}}$), и школьники забывают, что показательная форма всё равно строится так же: основание в степени равно аргументу, просто вычисления чуть сложнее.

Отсутствие итоговой проверки. Даже если все шаги выполнены верно, не помешает подставить найденный корень обратно в исходное уравнение и убедиться, что равенство выполняется. Это позволяет поймать случайные вычислительные ошибки за несколько секунд.

На что обратить внимание на экзамене

Простейшие логарифмические уравнения в задании 6 — это задачи на скорость и точность, а не на творческий подход. Чтобы не терять баллы:

Чётко зафиксируйте в голове схему: $\log_a f(x) = b \Rightarrow f(x) = a^b$. Проговаривайте её при каждом решении, особенно если основание или значение логарифма — не самые привычные числа.

Всегда выполняйте проверку ОДЗ хотя бы одной строкой: подставьте найденный $x$ в аргумент логарифма и убедитесь, что получается положительное число. Даже если задача кажется тривиальной, эта строчка исключает риск случайной ошибки.

Не экономьте время на вычислении степени — лучше на черновике явно посчитать $a^b$, чем сделать это в уме и ошибиться. Особенно это касается степеней с основанием 5, 7 или дробным показателем.

Внимательно читайте знаки в аргументе логарифма: выражения вида $4 - x$ и $4 + x$ дают принципиально разные ответы при одинаковой правой части, и перепутать знак — самая частая причина неверного ответа в этом типе задач.

Если ответ получился отрицательным или дробным — это нормально, не нужно считать это признаком ошибки. Простейшие логарифмические уравнения из задания 6 сконструированы так, что ответ может быть любым числом, главное — чтобы он проходил проверку ОДЗ.

В конце обязательно сверьте результат с исходным уравнением, подставив найденное значение и вычислив логарифм — это гарантированная защита от арифметических промахов при полном понимании метода.