ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения

Задача 77382. Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Решите уравнение логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка 49=2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

В подтеме 14 задач
Разбор
Главная идея: Логарифмическое уравнение сводится к степенному через определение логарифма, а найденные корни обязательно проверяются на соответствие ограничениям области определения.

Преобразуем логарифмическое уравнение log⁡x−549=2\log_{x-5}49 = 2 по определению логарифма.

Шаг 1: Применим определение логарифма. Если log⁡x−549=2\log_{x-5}49 = 2, то (x−5)2=49(x-5)^2 = 49.

Шаг 2: Не забудем об ограничениях. Для логарифма необходимо:

  • основание положительно: x−5>0x - 5 > 0, откуда x>5x > 5
  • основание не равно 1: x−5≠1x - 5 \neq 1, откуда x≠6x \neq 6

Шаг 3: Решим квадратное уравнение. (x−5)2=49(x-5)^2 = 49 означает x−5=±7x - 5 = \pm 7.

Получаем два случая:

  • x−5=7⇒x=12x - 5 = 7 \Rightarrow x = 12
  • x−5=−7⇒x=−2x - 5 = -7 \Rightarrow x = -2

Шаг 4: Проверим ограничения.

  • x=12x = 12: основание 12−5=7>012 - 5 = 7 > 0 и 7≠17 \neq 1 ✓
  • x=−2x = -2: основание −2−5=−7<0-2 - 5 = -7 < 0 — не удовлетворяет условию x>5x > 5 ✗

Вывод: единственный корень — x=12x = 12.

Типичные ошибки

  • Забыли проверить, что основание логарифма положительно и не равно 1 — отсюда исключается корень x=−2x = -2.
  • Решили (x−5)2=49(x-5)^2 = 49 и автоматически выбрали оба корня без проверки ограничений.
  • Допустили ошибку в преобразовании: неправильно применили определение логарифма или забыли возвести основание в степень.

Ещё задачи этой подтемы