ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения

Задача 26658. Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите корень уравнения $\log _\tfrac17 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = минус 2.$

В подтеме 14 задач

Разбор

Главная идея: Преобразуй логарифмическое уравнение в показательное, используя определение:

\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b

, затем решай полученное алгебраическое уравнение.

Используем определение логарифма: если $\log_a b = c$ , то $a^c = b$ .

В нашем уравнении $\log_{\frac{1}{7}}(7 - x) = -2$ основание логарифма равно $\frac{1}{7}$ , а результат равен $-2$ .

По определению логарифма переходим к показательной форме: $\left(\frac{1}{7}\right)^{-2} = 7 - x$

Вычислим левую часть. Когда основание дроби возводится в отрицательную степень, дробь переворачивается: $\left(\frac{1}{7}\right)^{-2} = 7^2 = 49$

Получаем: $49 = 7 - x$

Решаем линейное уравнение, перенося $x$ влево, а 7 вправо: $x = 7 - 49$ $x = -42$

Проверка: $\log_{\frac{1}{7}}(7 - (-42)) = \log_{\frac{1}{7}}(49) = \log_{\frac{1}{7}}(7^2)$ . Так как $\left(\frac{1}{7}\right)^{-2} = 49$ , то логарифм равен $-2$ ✓

Типичные ошибки

Забыли перевернуть дробь при возведении в отрицательную степень: $(\frac{1}{7})^{-2} \neq \frac{1}{49}$ , а равно $49$
Ошибка в знаке при переносе: написали $x = 49 - 7 = 42$ вместо $x = 7 - 49 = -42$
Не проверили, что аргумент логарифма положителен: при $x = -42$ имеем $7 - (-42) = 49 > 0$ ✓

Задача 26658. Логарифмические уравнения

Типичные ошибки

Ещё задачи этой подтемы