ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения

Задача 26659. Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите корень уравнения \log _5 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =2\log _53.

В подтеме 14 задач
Разбор
Главная идея: Свести логарифмическое уравнение к равенству аргументов, внося коэффициент в показатель степени и используя монотонность логарифма.

Начнём с применения свойства логарифма: коэффициент перед логарифмом можно внести в показатель степени.

Шаг 1. Преобразуем правую часть уравнения: 2log⁡53=log⁡532=log⁡592\log_5 3 = \log_5 3^2 = \log_5 9

Уравнение принимает вид: log⁡5(5−x)=log⁡59\log_5(5-x) = \log_5 9

Шаг 2. Так как логарифмическая функция — монотонная (при одном и том же основании), то равенство логарифмов означает равенство аргументов: 5−x=95 - x = 9

Шаг 3. Решаем простое линейное уравнение: x=5−9=−4x = 5 - 9 = -4

Проверка области определения. Логарифм существует только при положительном аргументе: 5−x>05 - x > 0, то есть x<5x < 5. Значение x=−4x = -4 удовлетворяет условию, так как −4<5-4 < 5.

Типичные ошибки

  • Забыть преобразовать 2log⁡532\log_5 3 в log⁡59\log_5 9 и попытаться работать с коэффициентом 2 отдельно.
  • Не проверить область определения логарифма — забыть, что 5−x5-x должно быть положительным.
  • Ошибка в вычислении: написать x=5+9x = 5 + 9 вместо x=5−9x = 5 - 9.

Ещё задачи этой подтемы