ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения

Задача 26648. Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите корень уравнения \log _5} левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =\log _53.

В подтеме 14 задач
Разбор
Главная идея: Если логарифмы с одинаковым основанием равны, то их аргументы равны: log⁡af(x)=log⁡ag(x)⇒f(x)=g(x)\log_a f(x) = \log_a g(x) \Rightarrow f(x) = g(x) (с учётом области определения).

Дано уравнение log⁡5(5−x)=log⁡53\log_5(5-x) = \log_5 3.

Поскольку логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны и их аргументы. Это следует из того, что логарифмическая функция является взаимно однозначной (монотонной).

Приравниваем аргументы: 5−x=35 - x = 3

Решаем простое линейное уравнение: −x=3−5-x = 3 - 5 −x=−2-x = -2 x=2x = 2

Проверяем область определения: аргумент логарифма должен быть положительным. При x=2x = 2: 5−2=3>05 - 2 = 3 > 0. Условие выполнено.

Ответ: x=2x = 2.

Типичные ошибки

  • Забыть проверить область определения — аргумент логарифма должен быть строго положительным
  • Допустить ошибку в знаке при переносе слагаемого (написать x=−2x = -2 вместо x=2x = 2)
  • Забыть, что логарифмическая функция монотонна, и попытаться решить уравнение другим способом, усложняя вычисления

Ещё задачи этой подтемы