ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения

Задача 26649. Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Найдите корень уравнения \log }_2} левая круглая скобка 15 плюс x правая круглая скобка =\log _23.

В подтеме 14 задач
Разбор
Главная идея: Если log⁡ab=log⁡ac\log_a b = \log_a c при одном основании a>0,a≠1a > 0, a \neq 1, то b=cb = c.

Уравнение имеет вид log⁡2(15+x)=log⁡23\log_2(15 + x) = \log_2 3.

Основное свойство логарифма: если логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны и их аргументы. Поскольку основание логарифма одинаково (оба логарифма по основанию 2), мы можем приравнять аргументы:

15+x=315 + x = 3

Решаем линейное уравнение: x=3−15x = 3 - 15 x=−12x = -12

Проверка: подставим x=−12x = -12 в исходное уравнение:

  • Левая часть: log⁡2(15+(−12))=log⁡23\log_2(15 + (-12)) = \log_2 3
  • Правая часть: log⁡23\log_2 3

Обе части совпадают. Также убедимся, что аргумент логарифма положителен: 15−12=3>015 - 12 = 3 > 0 ✓

Типичные ошибки

  • Забыть проверить, что аргумент логарифма остаётся положительным при найденном значении xx
  • Ошибиться при переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без логарифмов, например умножить или разделить вместо приравнивания аргументов
  • Арифметическая ошибка при вычитании: 3−15≠123 - 15 \neq 12

Ещё задачи этой подтемы