ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 61.1.7 Свойства степени с действительным показателем1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите корень уравнения 2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4.

В подтеме 14 задач
Разбор
Главная идея: Используем формулу перестановки основания и аргумента в показательно-логарифмическом выражении alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a}, затем вычисляем логарифм через свойство log⁡bna=1nlog⁡ba\log_{b^n} a = \frac{1}{n}\log_b a.

Начнём с уравнения 2log⁡8(5x−3)=42^{\log_8(5x-3)} = 4.

Шаг 1: Применим формулу переноса основания логарифма: alog⁡bc=clog⁡baa^{\log_b c} = c^{\log_b a}.

Эта формула работает благодаря свойствам логарифмов и показательной функции. Применяя её, получаем: 2log⁡8(5x−3)=(5x−3)log⁡822^{\log_8(5x-3)} = (5x-3)^{\log_8 2}

Шаг 2: Вычислим log⁡82\log_8 2.

Поскольку 8=238 = 2^3, то log⁡82=log⁡232=log⁡22log⁡223=13\log_8 2 = \log_{2^3} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 2^3} = \frac{1}{3}.

Шаг 3: Подставим найденное значение: (5x−3)13=4(5x-3)^{\frac{1}{3}} = 4

Добавим условие 5x−3>05x - 3 > 0 (из области определения логарифма).

Шаг 4: Возведём обе части в куб, чтобы избавиться от дробного показателя: 5x−3=43=645x - 3 = 4^3 = 64

Шаг 5: Решим линейное уравнение: 5x=675x = 67 x=13,4x = 13,4

Проверка условия: 5⋅13,4−3=67−3=64>05 \cdot 13,4 - 3 = 67 - 3 = 64 > 0 ✓

Типичные ошибки

  • Забыть проверить условие 5x−3>05x - 3 > 0 из области определения логарифма
  • Неправильно вычислить log⁡82\log_8 2 — ошибиться с переводом логарифма через разные основания
  • Забыть возвести обе части уравнения в куб при избавлении от дробного показателя или неправильно вычислить 434^3
Непонятно?

Похожие задачи