Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

Решим уравнение $\log_8 2^{8x-4} = 4$.

Способ 1: через формулу логарифма степени

Заметим, что основание логарифма можно переписать: $8 = 2^3$.

Применим формулу $\log_{a^m} a^n = \frac{n}{m}$, которая следует из определения логарифма:

$$\log_{2^3} 2^{8x-4} = \frac{8x-4}{3}$$

Получаем уравнение: $$\frac{8x-4}{3} = 4$$

Умножим обе части на 3: $$8x - 4 = 12$$

$$8x = 16$$

$$x = 2$$

Способ 2: через определение логарифма

Используем: если $\log_a b = c$, то $b = a^c$.

$$\log_8 2^{8x-4} = 4 \implies 2^{8x-4} = 8^4$$

Приведём обе части к одному основанию. Так как $8 = 2^3$: $$2^{8x-4} = (2^3)^4 = 2^{12}$$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели: $$8x - 4 = 12$$

$$8x = 16$$

$$x = 2$$