ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения1.4.5 Преобразование выражений, включающих операцию логарифмирования

Решите уравнение $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 10 правая круглая скобка .$

В подтеме 14 задач

Разбор

Главная идея: Логарифмы с одинаковым основанием равны тогда и только тогда, когда равны их аргументы; полученное линейное уравнение решается сокращением, результат проверяется по ОДЗ.

Уравнение содержит логарифмы с одинаковым основанием 5 с обеих сторон.

Шаг 1: Применяем свойство логарифма.

Если $\log_5(A) = \log_5(B)$ , где $A > 0$ и $B > 0$ , то $A = B$ . Это следует из того, что логарифм — монотонная функция.

Получаем: $x^2 + 2x = x^2 + 10$

Шаг 2: Решаем полученное уравнение.

Сокращаем $x^2$ в обеих частях: $2x = 10$ $x = 5$

Шаг 3: Проверяем область допустимых значений (ОДЗ).

Для существования обоих логарифмов требуется:

$x^2 + 2x > 0$
$x^2 + 10 > 0$

При $x = 5$ :

$25 + 10 = 35 > 0$ ✓
$25 + 10 = 35 > 0$ ✓

Оба условия выполнены.

Шаг 4: Проверка подстановкой.

$\log_5(35) = \log_5(35)$ — верно.

Ответ: $x = 5$

Типичные ошибки

Забыли проверить, что оба аргумента логарифмов положительны при найденном значении x
Ошибка в раскрытии скобок или сокращении при решении линейного уравнения 2x = 10
Попытка применить свойства логарифмов без учёта области допустимых значений (ОДЗ)

Непонятно?

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

Типичные ошибки

Похожие задачи