Задача 77380. Логарифмические уравнения

Уравнение содержит логарифмы с одинаковым основанием 5 с обеих сторон.

Шаг 1: Применяем свойство логарифма.

Если $\log_5(A) = \log_5(B)$, где $A > 0$ и $B > 0$, то $A = B$. Это следует из того, что логарифм — монотонная функция.

Получаем: $$x^2 + 2x = x^2 + 10$$

Шаг 2: Решаем полученное уравнение.

Сокращаем $x^2$ в обеих частях: $$2x = 10$$ $$x = 5$$

Шаг 3: Проверяем область допустимых значений (ОДЗ).

Для существования обоих логарифмов требуется:

• $x^2 + 2x > 0$
• $x^2 + 10 > 0$

При $x = 5$:

• $25 + 10 = 35 > 0$ ✓
• $25 + 10 = 35 > 0$ ✓

Оба условия выполнены.

Шаг 4: Проверка подстановкой.

$\log_5(35) = \log_5(35)$ — верно.

Ответ: $x = 5$