Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

Шаг 1. Приведём логарифмы к одному основанию.

Второй логарифм имеет основание $0,5 = 2^{-1}$. Используем формулу смены основания: $\log_{2^{-1}} a = \frac{\log_2 a}{\log_2 2^{-1}} = \frac{\log_2 a}{-1} = -\log_2 a$.

Получаем: $$\log_2 \frac{x}{6} = -\log_2(x+1)$$

Шаг 2. Используем свойство логарифма.

Правую часть преобразуем: $-\log_2(x+1) = \log_2 \frac{1}{x+1}$ (так как $-\log_2 a = \log_2 a^{-1}$).

$$\log_2 \frac{x}{6} = \log_2 \frac{1}{x+1}$$

Шаг 3. Равенство логарифмов.

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, равны и их аргументы: $$\frac{x}{6} = \frac{1}{x+1}$$

Не забываем про область определения: $\frac{x}{6} > 0$, то есть $x > 0$.

Шаг 4. Решаем уравнение.

Перемножаем крест-накрест: $$x(x+1) = 6$$ $$x^2 + x - 6 = 0$$

По теореме Виета или через дискриминант: $x = 2$ или $x = -3$.

Шаг 5. Проверяем ограничение.

Условие $x > 0$ отсеивает корень $x = -3$. Остаётся $x = 2$.