ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения

Задача 77381. Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения1.3.2 Логарифм произведения, частного, степени

Решите уравнение $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс 1.$

В подтеме 14 задач

Разбор

Главная идея: Преобразуй число в логарифм, используй формулу суммы логарифмов и приравняй аргументы при одинаковых основаниях, не забыв про ограничения области определения.

Исходное уравнение: $\log_5(7-x) = \log_5(3-x) + 1$

Шаг 1: Преобразуем единицу в логарифм. Поскольку $1 = \log_5 5$ , подставим: $\log_5(7-x) = \log_5(3-x) + \log_5 5$

Шаг 2: Применим формулу суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$ : $\log_5(7-x) = \log_5(5(3-x))$

Шаг 3: Поскольку основания логарифмов одинаковые, можем приравнять аргументы. Но сначала запишем систему с учётом области определения логарифмов (оба аргумента должны быть положительны): $\begin{cases} 3-x > 0 \\ 7-x = 5(3-x) \end{cases}$

Шаг 4: Решаем второе уравнение системы: $7-x = 15-5x$ $4x = 8$ $x = 2$

Шаг 5: Проверяем первое условие системы: $3-2 = 1 > 0 \,\checkmark$

Ответ удовлетворяет ограничению области определения.

Типичные ошибки

Забыть, что единица равна логарифму основания (1 = log₅5), и попытаться работать с ней как с обычным числом
Не проверить условие существования логарифма (оба аргумента должны быть больше нуля)
Ошибиться при раскрытии скобок в уравнении 7−x = 5(3−x), неправильно перенести слагаемые с x

Задача 77381. Логарифмические уравнения

Типичные ошибки

Ещё задачи этой подтемы