ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Логарифмические уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Логарифмические уравнения1.3.2 Логарифм произведения, частного, степени

Решите уравнение логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс 1.

В подтеме 14 задач
Разбор
Главная идея: Преобразуй число в логарифм, используй формулу суммы логарифмов и приравняй аргументы при одинаковых основаниях, не забыв про ограничения области определения.

Исходное уравнение: log⁡5(7−x)=log⁡5(3−x)+1\log_5(7-x) = \log_5(3-x) + 1

Шаг 1: Преобразуем единицу в логарифм. Поскольку 1=log⁡551 = \log_5 5, подставим: log⁡5(7−x)=log⁡5(3−x)+log⁡55\log_5(7-x) = \log_5(3-x) + \log_5 5

Шаг 2: Применим формулу суммы логарифмов log⁡ab+log⁡ac=log⁡a(bc)\log_a b + \log_a c = \log_a(bc): log⁡5(7−x)=log⁡5(5(3−x))\log_5(7-x) = \log_5(5(3-x))

Шаг 3: Поскольку основания логарифмов одинаковые, можем приравнять аргументы. Но сначала запишем систему с учётом области определения логарифмов (оба аргумента должны быть положительны): {3−x>07−x=5(3−x)\begin{cases} 3-x > 0 \\ 7-x = 5(3-x) \end{cases}

Шаг 4: Решаем второе уравнение системы: 7−x=15−5x7-x = 15-5x 4x=84x = 8 x=2x = 2

Шаг 5: Проверяем первое условие системы: 3−2=1>0 ✓3-2 = 1 > 0 \,\checkmark

Ответ удовлетворяет ограничению области определения.

Типичные ошибки

  • Забыть, что единица равна логарифму основания (1 = log₅5), и попытаться работать с ней как с обычным числом
  • Не проверить условие существования логарифма (оба аргумента должны быть больше нуля)
  • Ошибиться при раскрытии скобок в уравнении 7−x = 5(3−x), неправильно перенести слагаемые с x
Непонятно?

Похожие задачи