Задание 6 ЕГЭ: линейные, квадратные и кубические уравнения

О чём эта подтема

Задание 6 в профильном ЕГЭ по математике проверяет умение решать простейшие уравнения — линейные, квадратные и кубические. Это одно из самых «дешёвых» по времени заданий: за него дают балл почти автоматически, если действовать аккуратно и не путаться в дробях и знаках. Здесь не требуется никаких сложных методов — только чистая техника вычислений и знание базовых формул.

Основная сложность такого задания обычно не в математике, а в невнимательности: перепутанный знак, неверно переведённая смешанная дробь в обычную, ошибка при делении. Поэтому цель при подготовке — не изучить новый материал, а довести технику до автоматизма и научиться проверять себя.

Что нужно знать

Линейное уравнение имеет вид $ax = b$, где $a \neq 0$. Корень находится по формуле: $$x = \frac{b}{a}$$ Если $a = 0$ и $b = 0$ — уравнение имеет бесконечно много решений (любое число). Если $a = 0$ и $b \neq 0$ — решений нет.

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Корни находятся через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac$$ $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ Если $D > 0$ — два корня, если $D = 0$ — один корень (кратный), если $D < 0$ — корней нет (в действительных числах).

Частные случаи квадратного уравнения решаются быстрее без дискриминанта:

• если $c = 0$: $ax^2 + bx = 0 \Rightarrow x(ax+b)=0 \Rightarrow x=0$ или $x = -\dfrac{b}{a}$;
• если $b = 0$: $ax^2 + c = 0 \Rightarrow x^2 = -\dfrac{c}{a}$ (решение существует, если правая часть неотрицательна).

Кубическое уравнение в задании 6 почти всегда сводится к простому виду $ax^3 = b$ или $x^3 = k$, откуда: $$x = \sqrt[3]{k}$$ Поскольку кубический корень существует для любого числа (в том числе отрицательного), таких уравнений решение всегда единственно.

Отдельно важно уверенно работать с обыкновенными и смешанными дробями: переводить смешанное число в неправильную дробь, умножать и делить дроби, сокращать их. Именно этот навык чаще всего определяет, решите вы пример 6 верно или ошибётесь в вычислениях.

Правило перевода смешанной дроби в обычную: $$a\frac{m}{n} = \frac{an + m}{n}$$

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения любого уравнения из этого задания одинаков по духу — привести уравнение к простейшему виду и «снять» коэффициент при переменной.

Шаг 1. Определить тип уравнения. Посмотрите на степень переменной: если только первая степень — линейное, если есть $x^2$ — квадратное, если $x^3$ — кубическое.

Шаг 2. Перевести все смешанные числа и дроби в обычный вид. Это критически важный шаг для профильного ЕГЭ, так как коэффициенты часто даются именно как смешанные дроби.

Шаг 3. Уединить переменную.

• Для линейного уравнения $ax = b$ — разделить обе части на $a$: $x = \dfrac{b}{a}$.
• Для квадратного — либо разложить на множители (если возможно), либо применить формулу дискриминанта.
• Для кубического — извлечь кубический корень из обеих частей.

Шаг 4. Выполнить арифметику с дробями аккуратно. При делении дробей — умножение на обратную дробь. При умножении — числитель на числитель, знаменатель на знаменатель, затем сократить.

Шаг 5. Проверить знак ответа. Особенно если в условии есть уравнение вида $-\dfrac{a}{b}x = c$ — знак минус нельзя терять при переносе.

Шаг 6. Подставить найденный корень в исходное уравнение для проверки (если время позволяет). Это особенно полезно при дробных коэффициентах.

Разбор примера

Пример 1. Найдите корень уравнения: $$\frac{4}{7}x = 7\frac{3}{7}$$

Шаг 1. Уравнение линейное, вида $ax = b$, где $a = \dfrac{4}{7}$, а правая часть — смешанное число.

Шаг 2. Переводим смешанное число в обычную дробь: $$7\frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{49+3}{7} = \frac{52}{7}$$

Теперь уравнение выглядит так: $$\frac{4}{7}x = \frac{52}{7}$$

Шаг 3. Чтобы найти $x$, делим обе части на коэффициент $\dfrac{4}{7}$, то есть умножаем на обратную дробь $\dfrac{7}{4}$: $$x = \frac{52}{7} \cdot \frac{7}{4}$$

Шаг 4. Сокращаем: семёрки в числителе и знаменателе взаимно уничтожаются: $$x = \frac{52}{4} = 13$$

Шаг 5. Проверка: подставим $x=13$ в исходное уравнение: $$\frac{4}{7}\cdot 13 = \frac{52}{7} = 7\frac{3}{7}$$ Совпадает с правой частью — ответ верный.

Ответ: 13.

Пример 2. Найдите корень уравнения: $$-\frac{2}{9}x = 1\frac{1}{9}$$

Шаг 1. Уравнение линейное, коэффициент при $x$ отрицательный: $a = -\dfrac{2}{9}$.

Шаг 2. Переводим смешанное число в правой части в обычную дробь: $$1\frac{1}{9} = \frac{1\cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$$

Уравнение принимает вид: $$-\frac{2}{9}x = \frac{10}{9}$$

Шаг 3. Делим обе части на $-\dfrac{2}{9}$, то есть умножаем на обратную дробь $-\dfrac{9}{2}$ (знак минус сохраняется, так как делим на отрицательное число): $$x = \frac{10}{9} \cdot \left(-\frac{9}{2}\right)$$

Шаг 4. Сокращаем девятки: $$x = \frac{10}{1} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{10}{2} = -5$$

Шаг 5. Проверка: подставим $x = -5$: $$-\frac{2}{9}\cdot(-5) = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}$$ Верно совпадает с правой частью.

Ответ: −5.

Оба примера показывают типичную конструкцию задания 6: коэффициент при $x$ — обыкновенная дробь (иногда со знаком минус), а правая часть — смешанное число. Ключевая техника — правильный перевод смешанного числа в дробь и аккуратное деление дробей через умножение на обратную.

Типичные ошибки

Потеря знака минус. Если коэффициент при $x$ отрицательный, при делении обеих частей на него знак у ответа определяется по правилу знаков: минус на минус даёт плюс, минус на плюс даёт минус. Частая ошибка — забыть перенести минус или, наоборот, добавить его туда, где его не должно быть.

Неверный перевод смешанной дробi. Ошибка в формуле $a\frac{m}{n} = \frac{an+m}{n}$: иногда путают, что умножать на знаменатель нужно только целую часть, а не всю дробь целиком. Важно всегда проверять: числитель должен получиться больше знаменателя (для дробей больше единицы).

Ошибка при делении дробей. Деление дроби на дробь — это умножение на обратную. Частая ошибка: забывают «перевернуть» вторую дробь или переворачивают не ту дробь.

Неполное сокращение. Иногда после умножения дробей получается несократимая на первый взгляд дробь, но при более внимательном разложении на множители сокращение возможно. Стоит всегда проверять итоговый результат на сократимость.

Путаница между корнями квадратного уравнения. Если уравнение квадратное, забывают, что корней может быть два, и в задании иногда просят указать конкретный (например, наибольший или наименьший) корень — нужно внимательно читать условие.

Ошибка при извлечении кубического корня. В отличие от квадратного корня, кубический корень из отрицательного числа существует и равен отрицательному числу: $\sqrt[3]{-8} = -2$. Забывают об этом и считают, что решения нет.

Неаккуратная арифметика с большими числами. При переводе смешанных чисел иногда допускают ошибку в умножении целой части на знаменатель — стоит перепроверять устный счёт.

На что обратить внимание на экзамене

Задание 6 рассчитано на быстрое решение — не более 2–3 минут. Чтобы не терять на нём время и баллы:

1. Сразу переводите смешанные дроби в обычные — это первый шаг, который убирает большинство путаницы.
2. Следите за знаками на каждом шаге преобразования, особенно если коэффициент отрицательный.
3. Используйте сокращение дробей до конца вычислений, а не только в начале — это экономит время и уменьшает шанс ошибки.
4. Обязательно делайте проверку, подставляя найденный корень в исходное уравнение — на это уходит несколько секунд, но это гарантирует правильный ответ.
5. Если уравнение квадратное или кубическое, проверяйте тип задания по формулировке: просят ли найти все корни, наибольший, наименьший или сумму корней — ответ должен соответствовать именно тому, что спрашивают.
6. Не пренебрегайте частными случаями квадратных уравнений (без свободного члена или без линейного члена) — они решаются намного быстрее через разложение на множители, чем через дискриминант.
7. Если в ответе получается неправильная дробь, а условие подсказывает целое число — это сигнал перепроверить вычисления, а не сразу писать ответ.

Соблюдение этих простых правил гарантирует, что задание 6 будет решено верно и быстро, не отнимая время от более сложных заданий экзамена.