Задание 6 ЕГЭ: иррациональные уравнения — простейшие случаи

О чём эта подтема

В задании 6 профильного ЕГЭ иногда встречаются простейшие иррациональные уравнения — уравнения, где неизвестная переменная стоит под знаком квадратного корня. Задача сводится к тому, чтобы избавиться от корня, получить обычное линейное (реже — простое рациональное) уравнение, решить его и обязательно проверить, что найденный корень допустим.

Это одна из самых «дешёвых» по времени задач экзамена: она проверяет не творческие способности, а аккуратность и знание одного ключевого правила — возведения в квадрат с контролем области определения. Если алгоритм заучен и применяется механически, задание решается за одну-две минуты.

Главная опасность подтемы — не в сложности вычислений, а в потере контроля: забыть про область допустимых значений (ОДЗ) или про знак правой части уравнения. Именно из-за этого школьники иногда получают «лишний» корень или теряют верный.

Что нужно знать

Для решения простейших иррациональных уравнений в задании 6 достаточно нескольких фактов.

1. Определение арифметического квадратного корня. Выражение $\sqrt{f(x)}$ имеет смысл только при $f(x) \geqslant 0$, и по определению арифметического корня само значение $\sqrt{f(x)} \geqslant 0$.

2. Основное свойство уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$. Это уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} f(x) = g(x)^2, \\ g(x) \geqslant 0. \end{cases}$$ Условие $f(x) \geqslant 0$ при этом выполняется автоматически, если $g(x) \geqslant 0$ и $f(x) = g(x)^2 \geqslant 0$ — поэтому отдельно его проверять не обязательно, если проверено $g(x) \geqslant 0$. Но если $g(x)$ — просто число (константа), достаточно убедиться, что оно неотрицательно, и тогда система превращается в одно уравнение $f(x) = g(x)^2$ без дополнительных условий на $x$.

3. Возведение в квадрат — необратимая операция. При возведении обеих частей уравнения в квадрат могут появиться посторонние корни. Поэтому после нахождения корня его нужно подставить в исходное уравнение (или хотя бы проверить условие $g(x)\geqslant 0$), чтобы отбросить лишние решения.

4. Уравнения с корнем в знаменателе или сложной дробью под корнем. Если под корнем стоит дробь, например $\sqrt{\dfrac{a}{h(x)}} = c$, то дополнительно нужно, чтобы знаменатель $h(x)$ был не равен нулю, а вся дробь под корнем — неотрицательна. После возведения в квадрат получается уравнение относительно $h(x)$, и его тоже нужно решить как обычное рациональное уравнение.

5. Линейные уравнения. В большинстве задач 6 после возведения в квадрат под корнем оказывается линейное выражение вида $ax+b$, поэтому дальше требуется просто решить линейное уравнение — навык, который должен быть доведён до автоматизма.

Этого набора фактов достаточно: сложная теория (иррациональные неравенства, замена переменной, уравнения с двумя корнями) в задании 6 практически не встречается — она относится к более сложным номерам.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения простейшего иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = c$ (где $c$ — число) или $\sqrt{f(x)} = g(x)$ (где $g(x)$ — выражение с переменной):

Шаг 1. Проверить знак правой части. Если правая часть — отрицательное число, уравнение не имеет решений: корень слева не может быть отрицательным. Если правая часть — выражение с переменной, запомнить условие $g(x) \geqslant 0$ — его нужно проверить в конце.

Шаг 2. Возвести обе части уравнения в квадрат. Получится уравнение без корня: $f(x) = c^2$ или $f(x) = g(x)^2$.

Шаг 3. Решить полученное уравнение. Если под корнем стоял линейный многочлен — получится линейное уравнение, решаемое элементарно. Если под корнем была дробь — привести к общему знаменателю и решить относительно переменной, попутно проверив, что знаменатель не обращается в ноль.

Шаг 4. Проверить найденный корень. Подставить полученное значение $x$ в исходное уравнение (или хотя бы в выражение под корнем и в правую часть), убедиться, что:

• выражение под корнем неотрицательно;
• правая часть уравнения при этом значении $x$ неотрицательна (если она зависела от $x$);
• знаменатели (если были) не равны нулю.

Шаг 5. Записать ответ. Если уравнение имело единственный корень и проверка пройдена — это и есть ответ. Если корень не прошёл проверку — значит, он посторонний, и уравнение решений не имеет (для задания 6 такая ситуация встречается редко, но нужно быть готовым).

Важный практический момент: если правая часть уравнения — просто положительное число (как в большинстве задач 6), проверка знака автоматическая и не требует отдельных вычислений — достаточно убедиться, что число неотрицательно, и дальше просто решить уравнение после возведения в квадрат.

Разбор примера

Пример 1. Найдите корень уравнения $$\sqrt{15 - 2x} = 3.$$

Шаг 1. Правая часть — число $3$, оно неотрицательно, значит уравнение может иметь решения. Дополнительное условие $g(x)\geqslant 0$ выполнено автоматически, поскольку $g(x)=3>0$ — постоянно.

Шаг 2. Возводим обе части в квадрат: $$15 - 2x = 3^2 = 9.$$

Шаг 3. Решаем линейное уравнение: $$15 - 2x = 9 \quad\Rightarrow\quad -2x = 9 - 15 \quad\Rightarrow\quad -2x = -6 \quad\Rightarrow\quad x = 3.$$

Шаг 4. Проверка: подставим $x=3$ в исходное уравнение. $$\sqrt{15 - 2\cdot 3} = \sqrt{15-6} = \sqrt{9} = 3.$$ Равенство верное, корень подходит.

Ответ: $x = 3$.

Пример 2. Найдите корень уравнения $$\sqrt{\dfrac{6}{4x-54}} = \dfrac{1}{7}.$$

Шаг 1. Правая часть $\dfrac{1}{7}$ — положительное число, значит уравнение может иметь решение. Учитываем, что знаменатель под корнем $4x-54$ не должен равняться нулю, а вся дробь под корнем должна быть неотрицательной (в итоге это будет автоматически проверено на шаге 4).

Шаг 2. Возводим обе части в квадрат: $$\frac{6}{4x-54} = \left(\frac{1}{7}\right)^2 = \frac{1}{49}.$$

Шаг 3. Решаем полученное уравнение относительно $x$. Записываем равенство дробей: $$\frac{6}{4x-54} = \frac{1}{49}.$$ Перекрёстное умножение (при условии $4x-54 \neq 0$): $$6 \cdot 49 = 1 \cdot (4x-54).$$ $$294 = 4x - 54.$$ $$4x = 294 + 54 = 348.$$ $$x = \frac{348}{4} = 87.$$

Шаг 4. Проверка. Подставим $x=87$: $$4x - 54 = 4\cdot 87 - 54 = 348 - 54 = 294 \neq 0 \; \checkmark$$ $$\frac{6}{294} = \frac{1}{49}.$$ $$\sqrt{\frac{1}{49}} = \frac{1}{7}.$$ Равенство совпадает с правой частью исходного уравнения — корень подходит, дробь под корнем положительна, знаменатель не равен нулю.

Ответ: $x = 87$.

Оба примера показывают типичную структуру задания 6: под корнем — линейное выражение или дробь с линейным знаменателем, справа — число. После возведения в квадрат получается линейное уравнение, которое решается за несколько строк.

Типичные ошибки

Ошибка 1: забыть про проверку знака правой части. Если уравнение имеет вид $\sqrt{f(x)} = g(x)$ и $g(x)$ при найденном значении $x$ оказывается отрицательным, корень нужно отбросить — но многие школьники сразу записывают его в ответ, не проверив.

Ошибка 2: арифметические ошибки при возведении в квадрат. Часто теряется знак минус или неправильно раскрывается квадрат правой части, особенно если справа стоит дробь или отрицательное число. Полезно всегда явно выписывать $c^2$ или $g(x)^2$ отдельным действием, не пропускать шаги.

Ошибка 3: пропуск проверки ОДЗ для знаменателя. Если под корнем стоит дробь, легко забыть, что знаменатель не может быть равен нулю. Хотя в большинстве задач 6 при правильном решении это условие выполняется автоматически, лучше явно упомянуть его в решении, особенно если ответ выглядит подозрительно.

Ошибка 4: неверное перекрёстное умножение с дробями. При работе с уравнениями вида $\dfrac{a}{h(x)} = \dfrac{p}{q}$ иногда путают, что умножать на что. Надёжнее правило: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть $a \cdot q = p \cdot h(x)$.

Ошибка 5: забыть выполнить финальную проверку. Даже когда все действия сделаны правильно, стоит подставить найденное число обратно в исходное уравнение — это гарантирует, что в ответе не окажется постороннего корня, и одновременно служит самопроверкой на арифметические ошибки.

Ошибка 6: неправильный знак при переносе слагаемых. При решении линейного уравнения после возведения в квадрат (шаг 3) легко ошибиться в знаках при переносе через равенство — особенно если в уравнении несколько отрицательных чисел подряд. Рекомендуется переносить слагаемые по одному, а не сразу несколько.

На что обратить внимание на экзамене

Задание 6 с иррациональным уравнением рассчитано на быстрое и безошибочное решение — тратить на него больше двух-трёх минут не нужно. Чтобы избежать потери баллов, стоит придерживаться нескольких простых правил.

Всегда возводить обе части в квадрат только после того, как убедились, что правая часть неотрицательна (если она числовая — просто взглянуть на знак; если это выражение с переменной — держать условие в уме и проверить в конце).

После нахождения корня подставлять его в исходное уравнение, а не только в промежуточное (после возведения в квадрат) — это самый надёжный способ поймать посторонний корень или арифметическую ошибку.

Если под корнем — дробь, отдельно проверять, что знаменатель не равен нулю при найденном значении переменной, и что сама дробь под корнем оказывается неотрицательной (положительной).

Не бояться промежуточных вычислений с достаточно большими числами (как во втором примере, где после умножения получается число 294) — в задании 6 такие числа встречаются часто, и торопливость здесь только увеличивает риск ошибки.

Записывать решение по шагам, а не «в голове» — это одновременно и снижает вероятность ошибки, и упрощает самопроверку, если ответ показался странным (например, отрицательным или нецелым, когда ожидалось целое число).

Если после возведения в квадрат линейное уравнение не имеет решений или полученный корень не проходит проверку знака правой части — не пугаться и внимательно перечитать условие: возможно, была допущена ошибка на предыдущем шаге, а не в самом уравнении.