Задача 510328. Иррациональные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения1.1.5 Корень степени n > 1 и его свойства

Решите уравнение: $\left корень из д робь: числитель: 1, знаменатель: 1 минус 5x конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$

В подтеме 16 задач

Разбор

Главная идея: При возведении обеих частей уравнения в квадрат равенство дробей с единичными числителями сводится к равенству их знаменателей.

Исходное уравнение: $\sqrt{\frac{1}{1-5x}} = \frac{1}{6}$

Шаг 1. Возведём обе части в квадрат.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведение в квадрат — равносильное преобразование: $\frac{1}{1-5x} = \frac{1}{36}$

Шаг 2. Используем свойство равенства дробей.

Если две дроби равны и числители одинаковые, то знаменатели тоже равны: $1-5x = 36$

Шаг 3. Решаем линейное уравнение. $-5x = 36 - 1$ $-5x = 35$ $x = -7$

Шаг 4. Проверка области определения.

Для корня требуется $1-5x > 0$ , то есть $x < 0{,}2$ . Значение $x = -7$ удовлетворяет этому условию.

Шаг 5. Проверка решения.

Подставим $x = -7$ в исходное уравнение: $\sqrt{\frac{1}{1-5(-7)}} = \sqrt{\frac{1}{1+35}} = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}$ ✓

Забыли проверить область определения: под корнем должна быть положительная дробь, а в знаменателе — ненулевое выражение
Ошибка в расчётах при раскрытии скобок: неправильно раскрыли $1 - 5(-7)$ , получив неверный знаменатель
Не проверили найденное решение подстановкой в исходное уравнение, пропустив посторонний корень

Ещё задачи этой подтемы