ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения

Задача 26656. Иррациональные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения1.4.3 Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

Найдите корень уравнения корень из: начало аргумента: 15 минус 2x конец аргумента =3.

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Возведение в квадрат превращает иррациональное уравнение в линейное, но требует обязательной проверки, так как может добавить посторонние корни.

Перед нами уравнение со знаком корня: 15−2x=3\sqrt{15 - 2x} = 3.

Шаг 1. Возводим обе части в квадрат.

Чтобы избавиться от корня, возведём левую и правую части уравнения в квадрат: (15−2x)2=32\left(\sqrt{15 - 2x}\right)^2 = 3^2

Квадрат корня даёт подкоренное выражение: 15−2x=915 - 2x = 9

Шаг 2. Решаем линейное уравнение.

Перенесём 15 в правую часть: −2x=9−15-2x = 9 - 15 −2x=−6-2x = -6

Делим обе части на −2: x=3x = 3

Шаг 3. Проверка (важно!).

При возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, поэтому проверим подстановкой в исходное уравнение: 15−2⋅3=15−6=9=3\sqrt{15 - 2 \cdot 3} = \sqrt{15 - 6} = \sqrt{9} = 3 ✓

Уравнение верно. Корень x=3x = 3 — подлинное решение, а не посторонний.

Типичные ошибки

  • Забыли проверить найденный корень подстановкой в исходное уравнение и не заметили бы посторонний корень, если бы он появился.
  • Ошибка при возведении в квадрат: неправильно применили операцию или забыли, что (a)2=a(\sqrt{a})^2 = a.
  • Арифметическая ошибка при решении линейного уравнения −2x=−6-2x = -6 — неправильно разделили или забыли о знаке минус.

Похожие задачи (другие числа)