Задача 26668. Иррациональные уравнения

Исходное уравнение: $\sqrt{-72 - 17x} = -x$

Шаг 1. Определим ограничения. Корень квадратный принимает неотрицательные значения, поэтому правая часть должна быть неотрицательной: $-x \geq 0$, откуда $x \leq 0$.

Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-72 - 17x \geq 0$, откуда $x \leq -\frac{72}{17}$ (примерно $x \leq -4,24$).

Шаг 2. Возведём обе части в квадрат. Это допустимо, так как обе части неотрицательны при $x \leq 0$: $$-72 - 17x = x^2$$

Шаг 3. Переносим всё в одну сторону и получаем квадратное уравнение. $$x^2 + 17x + 72 = 0$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение. Ищем два числа, произведение которых 72, а сумма 17. Это 8 и 9. $$(x + 8)(x + 9) = 0$$ $$x = -8 \text{ или } x = -9$$

Шаг 5. Проверим оба корня против условия $x \leq 0$. Оба значения удовлетворяют этому условию.

Шаг 6. Проверка подстановкой. Для $x = -9$: $\sqrt{-72 + 153} = \sqrt{81} = 9 = -(-9)$ ✓

Для $x = -8$: $\sqrt{-72 + 136} = \sqrt{64} = 8 = -(-8)$ ✓

Оба корня подходят. Меньший из них: $-9$.