ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения

Задача 77373. Иррациональные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения1.1.5 Корень степени n > 1 и его свойства

Решите уравнение корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 15 минус 4x конец дроби конец аргумента =0,2.

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Возведение в квадрат избавляет от корня; преобразование десятичной дроби в обыкновенную упрощает работу с дробными выражениями.

Дано уравнение: 115−4x=0,2\sqrt{\frac{1}{15-4x}} = 0,2

Шаг 1. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: 0,2=150,2 = \frac{1}{5}

Получаем: 115−4x=15\sqrt{\frac{1}{15-4x}} = \frac{1}{5}

Шаг 2. Возведём обе части уравнения в квадрат. Так как обе части неотрицательны, это преобразование равносильно: 115−4x=(15)2=125\frac{1}{15-4x} = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}

Шаг 3. В уравнении 115−4x=125\frac{1}{15-4x} = \frac{1}{25} равны две дроби с одинаковыми числителями. Значит, равны и знаменатели: 15−4x=2515 - 4x = 25

Шаг 4. Решаем линейное уравнение: −4x=25−15-4x = 25 - 15 −4x=10-4x = 10 x=−2,5x = -2,5

Проверка: При x=−2,5x = -2,5 знаменатель 15−4(−2,5)=15+10=25>015 - 4(-2,5) = 15 + 10 = 25 > 0, выражение под корнем определено. Подставляем: 125=15=0,2\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} = 0,2 ✓

Типичные ошибки

  • Забыли преобразовать 0,2 в дробь перед возведением в квадрат, что привело к ошибкам в вычислениях
  • Не проверили, что найденное значение x не обращает знаменатель в нуль и не делает выражение под корнем отрицательным
  • Допустили ошибку при переходе от 115−4x=125\frac{1}{15-4x} = \frac{1}{25} к знаменателям, неправильно составив уравнение

Ещё задачи этой подтемы