ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения

Задача 77375. Иррациональные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения1.1.5 Корень степени n > 1 и его свойства

Решите уравнение корень из: начало аргумента: 6 плюс 5x конец аргумента =x. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: При решении иррационального уравнения возводим в квадрат, что требует добавления условия неотрицательности; посторонние корни отсеиваются проверкой этого условия.

Уравнение содержит квадратный корень, поэтому нужно от него избавиться.

Шаг 1. Возводим обе части в квадрат.

Исходное уравнение: 6+5x=x\sqrt{6 + 5x} = x

Возведём в квадрат обе части: 6+5x=x26 + 5x = x^2

Однако при возведении в квадрат могут появиться посторонние решения, поэтому необходимо требование x≥0x \geq 0 (подкоренное выражение и правая часть должны быть неотрицательны).

Шаг 2. Решаем полученное квадратное уравнение.

Переносим все в левую часть: x2−5x−6=0x^2 - 5x - 6 = 0

По теореме Виета или через разложение: (x−6)(x+1)=0(x - 6)(x + 1) = 0

Получаем два корня: x=6x = 6 и x=−1x = -1.

Шаг 3. Проверяем условие x≥0x \geq 0.

Корень x=−1x = -1 не удовлетворяет условию x≥0x \geq 0, поэтому отбрасываем его.

Корень x=6x = 6 удовлетворяет условию.

Шаг 4. Проверяем подстановкой (рекомендуется).

6+5⋅6=36=6\sqrt{6 + 5 \cdot 6} = \sqrt{36} = 6 ✓

Уравнение имеет единственный корень.

Типичные ошибки

  • Забыть добавить условие x≥0x \geq 0 и получить ответ −1-1 или оба корня
  • Ошибиться при решении квадратного уравнения x2−5x−6=0x^2 - 5x - 6 = 0
  • Не проверить, что подкоренное выражение неотрицательно при найденных корнях

Ещё задачи этой подтемы