ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения

Задача 628738. Иррациональные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 61.1.5 Корень степени n > 1 и его свойства1.4.3 Преобразования выражений, включающих корни натуральной степени

Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 34 минус 3x конец аргумента =x минус 2.$

В подтеме 16 задач

Разбор

Главная идея: При решении иррационального уравнения возводим в квадрат, но затем обязательно проверяем, что правая часть исходного уравнения была неотрицательна и что найденные корни квадратного уравнения удовлетворяют этому условию.

Возведём обе части уравнения в квадрат. Слева корень исчезнет, справа раскроем скобку:

$34 - 3x = (x-2)^2$ $34 - 3x = x^2 - 4x + 4$

Перенесём всё в правую часть: $0 = x^2 - 4x + 4 - 34 + 3x$ $x^2 - x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант или разложение. Подберём корни: нужны два числа, которые при перемножении дают −30, а при сложении дают −1. Это −6 и 5: $(x - 6)(x + 5) = 0$

Получаем $x = 6$ или $x = -5$ .

Однако при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни. Проверим условие: под корнем должно быть неотрицательное число, и правая часть $x - 2$ должна быть ≥ 0 (так как корень не отрицателен). Значит, $x \geq 2$ .

Для $x = -5$ : условие $-5 \geq 2$ не выполнено — корень посторонний.

Для $x = 6$ : условие $6 \geq 2$ выполнено. Проверим подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{34 - 18} = \sqrt{16} = 4$ и $6 - 2 = 4$ — верно.

Ответ: $x = 6$ .

Типичные ошибки

Забыли про условие $x - 2 \geq 0$ и не отсеяли посторонний корень $x = -5$
Ошибка при раскрытии скобки $(x-2)^2$ — неправильно вычислили коэффициенты квадратного уравнения
Не проверили найденный корень подстановкой в исходное уравнение (контрольная проверка при наличии ограничений)

Задача 628738. Иррациональные уравнения

Типичные ошибки

Ещё задачи этой подтемы