ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Иррациональные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения1.1.5 Корень степени n > 1 и его свойства

Решите уравнение: корень 3 степени из: начало аргумента: x плюс 2 конец аргумента = минус 2.

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Кубический корень можно элементарно исключить, возведя обе части в третью степень, — это всегда даёт равносильное уравнение, без потери или приобретения посторонних решений.

Дано уравнение x+23=−2\sqrt[3]{x + 2} = -2.

Чтобы избавиться от кубического корня, возведём обе части уравнения в третью степень. Это преобразование всегда равносильно для кубических корней, так как функция f(t)=t3f(t) = t^3 монотонна и определена на всём множестве действительных чисел (в отличие от чётных корней, где нужно следить за областью определения).

(x+23)3=(−2)3(\sqrt[3]{x + 2})^3 = (-2)^3

Слева корень третьей степени и возведение в третью степень взаимно сокращаются:

x+2=−8x + 2 = -8

Решаем линейное уравнение:

x=−8−2=−10x = -8 - 2 = -10

Проверка: −10+23=−83=−2\sqrt[3]{-10 + 2} = \sqrt[3]{-8} = -2 ✓

Ответ: −10-10

Типичные ошибки

  • Забыть, что −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2, а не ошибочно считать только положительное значение — для нечётных корней допускаются отрицательные результаты
  • Неправильно вычислить (−2)3(-2)^3: это равно −8-8, а не 88
  • Ошибиться в арифметике при решении x+2=−8x + 2 = -8, например написать x=6x = 6 вместо x=−10x = -10
Непонятно?

Похожие задачи