ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения

Задача 77374. Иррациональные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения1.1.5 Корень степени n > 1 и его свойства

Решите уравнение корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 минус 2x конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Возведение в квадрат избавляет от корня и преобразует иррациональное уравнение в дробно-рациональное; после приравнивания знаменателей получается линейное уравнение.

Дано уравнение 15−2x=13\sqrt{\frac{1}{5-2x}} = \frac{1}{3}.

Шаг 1: Возведём обе части в квадрат.

Это законно, так как обе части уравнения неотрицательны (слева — корень, справа — положительное число). После возведения в квадрат получаем: 15−2x=19\frac{1}{5-2x} = \frac{1}{9}

Шаг 2: Приравняем знаменатели.

Если две дроби с равными числителями равны, то равны и их знаменатели: 5−2x=95 - 2x = 9

Шаг 3: Решим линейное уравнение.

Перенесём 2x2x в правую часть, а 99 в левую: 5−9=2x5 - 9 = 2x −4=2x-4 = 2x x=−2x = -2

Шаг 4: Проверка (обязательна для иррациональных уравнений).

Подставим x=−2x = -2 в исходное уравнение: 15−2(−2)=15+4=19=13\sqrt{\frac{1}{5-2(-2)}} = \sqrt{\frac{1}{5+4}} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} ✓

Уравнение верно. Область определения: 5−2x>05 - 2x > 0, то есть x<2,5x < 2{,}5 — наше решение входит в эту область.

Ответ: x=−2x = -2

Типичные ошибки

  • Забыли проверить решение в исходном уравнении, отчего может остаться посторонний корень.
  • Ошибка в возведении в квадрат дроби: забыли возвести в квадрат и числитель, и знаменатель.
  • Не учли область определения: забыли, что под корнем и в знаменателе должны быть положительные выражения.

Ещё задачи этой подтемы