ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения

Задача 501034. Иррациональные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Иррациональные уравнения1.1.5 Корень степени n > 1 и его свойства

Найдите корень уравнения корень из: начало аргумента: минус 4 минус 5x конец аргумента =4.

В подтеме 16 задач
Разбор
Главная идея: Возведение обеих частей иррационального уравнения в квадрат сводит его к алгебраическому, которое решается стандартно; обязательна проверка, что найденное значение не нарушает область определения корня и удовлетворяет исходному уравнению.

Дано уравнение −4−5x=4\sqrt{-4-5x}=4.

Шаг 1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: (−4−5x)2=42\left(\sqrt{-4-5x}\right)^2=4^2 −4−5x=16-4-5x=16

Почему это законно: когда обе части положительны (здесь 4 > 0 и ...≥0\sqrt{...} \geq 0), возведение в квадрат сохраняет равносильность.

Шаг 2. Решаем линейное уравнение: −5x=16+4-5x=16+4 −5x=20-5x=20 x=−4x=-4

Шаг 3. Проверим, что x = −4 не нарушает область определения (подкоренное выражение должно быть неотрицательным): −4−5⋅(−4)=−4+20=16≥0-4-5\cdot(-4)=-4+20=16\geq 0 ✓

Проверим подстановку в исходное уравнение: 16=4\sqrt{16}=4 ✓

Ответ: x=−4x=-4

Типичные ошибки

  • Забыть проверить подкоренное выражение на неотрицательность: выражение под корнем должно быть ≥ 0, иначе корень не определён
  • Не выполнить проверку найденного корня подстановкой в исходное уравнение — возведение в квадрат может привести к посторонним решениям
  • Ошибиться в алгебре при раскрытии скобок или переносе слагаемых при решении линейного уравнения −5x = 20

Ещё задачи этой подтемы