ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Решите уравнение 8 в степени левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка =64 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .

В подтеме 19 задач
Разбор
Главная идея: Приведи обе части к одной базе (основанию), затем приравняй показатели, используя монотонность показательной функции.

Приведём обе части уравнения к одному основанию.

Шаг 1. Заметим, что 8=238 = 2^3 и 64=43=(23)2=2664 = 4^3 = (2^3)^2 = 2^6.

Можно также заметить, что 64=8264 = 8^2, поэтому переходим к основанию 8:

89−x=64x8^{9-x} = 64^x

89−x=(82)x8^{9-x} = (8^2)^x

Шаг 2. Применяем свойство степеней: (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}

89−x=82x8^{9-x} = 8^{2x}

Шаг 3. Поскольку показательная функция y=8ty = 8^t — монотонно возрастающая и одно-однозначная, равенство степеней с одинаковым основанием эквивалентно равенству показателей:

9−x=2x9 - x = 2x

Шаг 4. Решаем линейное уравнение:

9=2x+x9 = 2x + x

9=3x9 = 3x

x=3x = 3

Типичные ошибки

  • Неправильно перевести 64 в степень восьмёрки: например, написать 64=8364 = 8^3 вместо 64=8264 = 8^2
  • Забыть применить правило (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} и неверно раскрыть скобки в показателе
  • Ошибиться при решении линейного уравнения 9−x=2x9 - x = 2x, например получить x=1,5x = 1,5 или другой неправильный ответ
Непонятно?

Похожие задачи