Задача 510936. Показательные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите корень уравнения $6 в степени левая круглая скобка 12,5x плюс 2 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 216 конец дроби .$

В подтеме 19 задач

Разбор

Главная идея: Показательное уравнение с одинаковыми основаниями решается приравниванием показателей: если

a^f(x) = a^{g(x)}

при

a > 0, a \neq 1

, то

f(x) = g(x)

Основная идея — привести обе части уравнения к одному основанию степени.

Шаг 1: Представим правую часть как степень числа 6.

Заметим, что $216 = 6^3$ . Это можно проверить: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$ .

Тогда $\frac{1}{216} = \frac{1}{6^3} = 6^{-3}$ (по свойству отрицательной степени).

Шаг 2: Перепишем уравнение с одинаковыми основаниями.

Теперь уравнение имеет вид: $6^{12,5x + 2} = 6^{-3}$

Шаг 3: Приравняем показатели степеней.

Поскольку основания равны и положительны (и не равны 1), показатели степеней должны быть равны: $12,5x + 2 = -3$

Шаг 4: Решим линейное уравнение.

$12,5x = -3 - 2 = -5$ $x = \frac{-5}{12,5} = \frac{-5}{\frac{25}{2}} = -5 \cdot \frac{2}{25} = -\frac{10}{25} = -\frac{2}{5} = -0,4$

Забывают, что $216 = 6^3$ , и не могут представить правую часть как степень с основанием 6
Ошибаются при вычислении $\frac{1}{216}$ как степени 6 (забывают про отрицательный показатель)
Допускают арифметические ошибки при решении уравнения $12,5x + 2 = -3$ или при делении $-5$ на $12,5$

Ещё задачи этой подтемы