ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 62.1.5 Показательные уравнения

Найдите корень уравнения 3 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби .

В подтеме 19 задач
Разбор
Главная идея: Приведите все числа в уравнении к одной базе (здесь это 3), тогда сможете приравнять показатели степеней.

Приведём обе части уравнения к одному основанию.

Шаг 1: Разделим обе части на 3

3⋅9x−1=1273 \cdot 9^{x-1} = \frac{1}{27}

9x−1=1819^{x-1} = \frac{1}{81}

Это законно, так как 3 ≠ 0.

Шаг 2: Выразим обе части через степени числа 3

Заметим, что все числа — степени тройки:

  • 9=329 = 3^2
  • 81=3481 = 3^4

Подставим:

(32)x−1=134(3^2)^{x-1} = \frac{1}{3^4}

Шаг 3: Применим правило степеней

Используем свойство (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} для левой части и 1an=a−n\frac{1}{a^n} = a^{-n} для правой:

32(x−1)=3−43^{2(x-1)} = 3^{-4}

32x−2=3−43^{2x-2} = 3^{-4}

Шаг 4: Приравняем показатели

Так как основания равны и основание 3 > 0, то показатели степеней равны:

2x−2=−42x - 2 = -4

2x=−22x = -2

x=−1x = -1

Типичные ошибки

  • Забыли разделить на коэффициент 3 в начале — оставили 9^(x-1) = 1/27 вместо 9^(x-1) = 1/81
  • Неправильно преобразовали 1/27: это 3^(-3), а не 3^(-4), что приводит к ошибке в показателе
  • Ошибка в применении правила степеней: написали 3^(x-1) вместо 3^(2x-2) после раскрытия скобок
Непонятно?

Похожие задачи