ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения

Задача 510820. Показательные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите корень уравнения левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 25 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка =5 в степени левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка .

В подтеме 19 задач
Разбор
Главная идея: Привести обе части показательного уравнения к одному основанию, тогда показатели степеней становятся равны.

Приведём обе части уравнения к одному основанию.

Шаг 1. Заметим, что 125=152=5−2\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}. Переписываем левую часть: (5−2)x+2=5x+5\left(5^{-2}\right)^{x+2} = 5^{x+5}

Шаг 2. Применяем свойство степени: (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}. Показатель степени в левой части становится: 5−2(x+2)=5x+55^{-2(x+2)} = 5^{x+5} 5−2x−4=5x+55^{-2x-4} = 5^{x+5}

Шаг 3. Так как основания равны (обе части — степени числа 5), то показатели степеней должны быть равны: −2x−4=x+5-2x - 4 = x + 5

Шаг 4. Решаем линейное уравнение: −2x−x=5+4-2x - x = 5 + 4 −3x=9-3x = 9 x=−3x = -3

Проверка: (125)−3+2=5−3+5\left(\frac{1}{25}\right)^{-3+2} = 5^{-3+5} → (5−2)−1=52(5^{-2})^{-1} = 5^2 → 52=525^2 = 5^2 ✓

Типичные ошибки

  • Ошибка в применении формулы отрицательной степени: 125≠52\frac{1}{25} \neq 5^2, нужно 5−25^{-2}
  • Неправильное использование правила (am)n(a^m)^n: забывают умножить показатели, пишут 5−2+x+25^{-2+x+2} вместо 5−2(x+2)5^{-2(x+2)}
  • Ошибка при переносе членов: пишут −2x−x=−9-2x - x = -9 вместо −2x−x=9-2x - x = 9

Ещё задачи этой подтемы