ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите корень уравнения левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка =32.

В подтеме 19 задач
Разбор
Главная идея: Приведи обе части уравнения к одному основанию степени, тогда показатели можно приравнять благодаря монотонности показательной функции.

Решаем уравнение (12)10−3x=32\left(\frac{1}{2}\right)^{10-3x} = 32.

Шаг 1: Приведём обе части к одному основанию.

Заметим, что 32=2532 = 2^5. Но в левой части основание 12=2−1\frac{1}{2} = 2^{-1}, поэтому нужно выразить 32 через основание 12\frac{1}{2}:

32=25=(2−1)−5=(12)−532 = 2^5 = \left(2^{-1}\right)^{-5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5}

Шаг 2: Переписываем уравнение с одинаковыми основаниями.

(12)10−3x=(12)−5\left(\frac{1}{2}\right)^{10-3x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5}

Шаг 3: Используем свойство показательной функции.

Так как функция f(t)=(12)tf(t) = \left(\frac{1}{2}\right)^t монотонна (убывающая), то равенство оснований влечёт равенство показателей:

10−3x=−510 - 3x = -5

Шаг 4: Решаем линейное уравнение.

−3x=−5−10-3x = -5 - 10 −3x=−15-3x = -15 x=5x = 5

Проверка: (12)10−3⋅5=(12)−5=25=32\left(\frac{1}{2}\right)^{10-3\cdot 5} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-5} = 2^5 = 32 ✓

Типичные ошибки

  • Забыли, что 12=2−1\frac{1}{2} = 2^{-1}, и пытались приравнять показатели с разными основаниями.
  • Ошибка в преобразовании: 32=25≠(12)532 = 2^5 \neq \left(\frac{1}{2}\right)^5. Нужно помнить про отрицательный показатель.
  • Арифметическая ошибка при решении 10−3x=−510 - 3x = -5: неправильно перенесли члены или ошиблись в делении.
Непонятно?

Похожие задачи (другие числа)