Задача 704177. Показательные уравнения

Приведём обе части уравнения к одному основанию — степеням двойки.

Шаг 1: Переписываем левую часть. $$8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x} = 2^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2-x}$$

Потому что $8 = 2^3$ и это позволит работать со степенями одного основания.

Шаг 2: Преобразуем дробь в степень отрицательной степени. $$\left(\frac{1}{2}\right)^{2-x} = 2^{-(2-x)} = 2^{x-2}$$

Это свойство: $\left(\frac{1}{a}\right)^n = a^{-n}$, и раскрываем скобки в показателе.

Шаг 3: Подставляем в левую часть. $$2^3 \cdot 2^{x-2} = 2^{3 + (x-2)} = 2^{x+1}$$

Применяем правило: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются.

Шаг 4: Преобразуем правую часть. $$4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$$

Потому что $4 = 2^2$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Шаг 5: Получаем уравнение с одинаковыми основаниями. $$2^{x+1} = 2^{2x}$$

Так как основания равны, то и показатели степеней должны быть равны.

Шаг 6: Приравниваем показатели. $$x + 1 = 2x$$ $$1 = x$$

Проверка: $8 \cdot (\frac{1}{2})^{2-1} = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ и $4^1 = 4$. Верно.