ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения

Задача 26671. Показательные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите решение уравнения: левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка =2 в степени x .

В подтеме 19 задач
Разбор
Главная идея: Приведение обеих частей показательного уравнения к одному основанию позволяет приравнять показатели степеней, так как показательная функция монотонна.

Преобразуем левую часть уравнения, приведя обе части к одному основанию.

Шаг 1. Запишем дробь 12\frac{1}{2} как степень числа 2: 12=2−1\frac{1}{2} = 2^{-1}

Тогда левая часть становится: (2−1)x−8=2−1⋅(x−8)=2−(x−8)=28−x\left(2^{-1}\right)^{x-8} = 2^{-1 \cdot (x-8)} = 2^{-(x-8)} = 2^{8-x}

При возведении степени в степень показатели перемножаются, поэтому −1⋅(x−8)=−x+8=8−x-1 \cdot (x-8) = -x+8 = 8-x.

Шаг 2. Теперь уравнение имеет вид: 28−x=2x2^{8-x} = 2^{x}

Обе части записаны как степени одного и того же основания (число 2). Поскольку показательная функция с основанием 2>12 > 1 монотонно возрастает, равенство степеней возможно только при равенстве показателей: 8−x=x8 - x = x

Шаг 3. Решаем линейное уравнение: 8=2x8 = 2x x=4x = 4

Проверка: (12)4−8=(12)−4=24=16\left(\frac{1}{2}\right)^{4-8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16 и 24=162^4 = 16. ✓

Типичные ошибки

  • Забывают, что 12=2−1\frac{1}{2} = 2^{-1}, и пытаются преобразовать уравнение неправильно
  • Ошибаются со знаком при раскрытии скобок в показателе: −(x−8)≠−x−8-(x-8) ≠ -x-8, а именно −(x−8)=8−x-(x-8) = 8-x
  • Неправильно применяют свойство монотонности, путая случаи основания больше 1 и между 0 и 1

Похожие задачи (другие числа)