ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения

Задание 6 ЕГЭ, математика (профиль): Показательные уравнения

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 6Показательные уравнения1.4.2 Преобразования выражений, включающих операцию возведения в степень

Найдите корень уравнения: левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 3 плюс x правая круглая скобка =512.

В подтеме 19 задач
Разбор
Главная идея: Приведите обе части уравнения к одному основанию степени, затем приравняйте показатели — это универсальный способ решения показательных уравнений вида af(x)=ag(x)a^{f(x)} = a^{g(x)}.

Начнём с уравнения (18)−3+x=512\left(\frac{1}{8}\right)^{-3+x} = 512.

Шаг 1: Приведём обе части к одному основанию.

Вспомним, что 18=8−1\frac{1}{8} = 8^{-1}. Подставим: (8−1)−3+x=512\left(8^{-1}\right)^{-3+x} = 512

Применим свойство степени (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}: 8(−1)⋅(−3+x)=5128^{(-1)\cdot(-3+x)} = 512 83−x=5128^{3-x} = 512

Шаг 2: Представим 512 как степень числа 8.

Заметим, что 512=83512 = 8^3, так как 8⋅8⋅8=64⋅8=5128 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 8 = 512.

Теперь уравнение принимает вид: 83−x=838^{3-x} = 8^3

Шаг 3: Приравняем показатели степеней.

Поскольку основания равны и положительны (и не равны 1), показатели степеней должны быть равны: 3−x=33 - x = 3

Шаг 4: Решим линейное уравнение. −x=0-x = 0 x=0x = 0

Типичные ошибки

  • Забыли применить свойство (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn} и неправильно раскрыли скобки в показателе степени.
  • Не заметили, что 512=83512 = 8^3, и попытались решать уравнение с разными основаниями.
  • Ошибка в знаке при преобразовании (−1)⋅(−3+x)(-1) \cdot (-3+x) — неправильное раскрытие скобок привело к неверному показателю.
Непонятно?

Похожие задачи