Задание 9 ЕГЭ: квадратные и степенные уравнения и неравенства в прикладных задачах

О чём эта подтема

Задание 9 профильного ЕГЭ проверяет умение работать с формулами из реальной жизни: физики, экономики, техники. В подтеме «Квадратные и степенные уравнения и неравенства» вам дают текстовую задачу, где одна величина зависит от другой по формуле, содержащей квадрат переменной (или другую степень), а также произведение переменных, дающее квадратичную зависимость. Нужно составить уравнение или неравенство по условию и найти числовой ответ.

Особенность таких задач — не в сложности самой математики (уравнения и неравенства второй степени вы решали ещё в 8–9 классе), а в переводе словесного условия на язык алгебры. Ошибка чаще всего происходит именно на этапе составления уравнения, а не при его решении.

Типичные сюжеты: свободное падение и время движения ($h = 5t^2$ и похожие формулы), зависимость выручки от цены при линейном спросе ($r(p) = q \cdot p$, где $q$ линейно зависит от $p$), площади фигур, зависящие от одной переменной, задачи на дальность полёта тела, задачи на мощность или силу, где встречается квадрат величины.

Что нужно знать

Для решения задач этой подтемы достаточно небольшого набора фактов.

1. Формула квадратного уравнения и способы его решения. Общий вид: $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$. Если $D > 0$, корни находятся по формуле $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$ Если $D = 0$, есть один корень $x = -\dfrac{b}{2a}$. Если $D < 0$, действительных корней нет.

2. Решение квадратных неравенств методом параболы. Знак выражения $ax^2+bx+c$ определяется расположением параболы относительно оси абсцисс: если ветви направлены вверх ($a>0$), выражение отрицательно между корнями и положительно вне отрезка между корнями (и наоборот при $a<0$).

3. Работа со степенными выражениями. Нужно уметь возводить в квадрат и извлекать квадратный корень, при этом помня об области допустимых значений: если в условии время, расстояние, цена — эти величины неотрицательны, поэтому при извлечении корня берём только положительный корень.

4. Умение составлять функцию по описанию зависимости. Если объём спроса линейно зависит от цены: $q(p) = a - bp$, а выручка — произведение цены на объём: $r(p) = p \cdot q(p)$, то после подстановки получается квадратичная функция от $p$. Такие задачи с экономическим содержанием — классика этой подтемы.

5. Учёт физического смысла ответа. В прикладных задачах не все математически верные корни подходят по смыслу. Время, расстояние, цена, объём — неотрицательные величины, а иногда есть и дополнительные ограничения (например, цена не может быть больше некоторого разумного предела, спрос не может быть отрицательным).

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач этой подтемы почти всегда одинаков.

Шаг 1. Внимательно прочитать условие и выписать данные формулы. Определите, какая величина известна, какая неизвестна, какая зависимость между ними задана.

Шаг 2. Перевести словесное условие в уравнение или неравенство. Если спрашивается «на сколько изменится величина», нужно составить два значения функции (до и после изменения) и найти их разность. Если спрашивается «при каком значении переменной выполняется некоторое условие (не менее, не более, равно)», нужно записать это условие как уравнение или неравенство с использованием заданной формулы.

Шаг 3. Упростить полученное выражение до стандартного вида. Привести уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$ или неравенство к виду $ax^2+bx+c \ge 0$ (либо $\le$, $>$, $<$).

Шаг 4. Решить уравнение или неравенство. Найти корни через дискриминант, для неравенства — определить промежуток знакопостоянства.

Шаг 5. Отобрать корни/промежуток по смыслу задачи. Проверить область допустимых значений: неотрицательность времени, расстояния, цены; учесть, если ищется «наибольшее» или «наименьшее» значение — выбрать соответствующую границу полученного промежутка.

Шаг 6. Сформулировать численный ответ в требуемых единицах. Внимательно посмотреть, в каких единицах нужно дать ответ (метры, тысячи рублей и т.д.), и не забыть округление, если оно требуется.

Разбор примера

Пример 1. Задача про колодец

Условие: расстояние до воды в колодце вычисляется по формуле $$h = 5t^2,$$ где $h$ — расстояние в метрах, $t$ — время падения камешка в секундах. До дождя время падения составляло $t_1 = 0{,}6$ с. Нужно найти, на сколько должен подняться уровень воды, чтобы измеряемое время изменилось на $0{,}2$ с.

Шаг 1. Выписываем формулу и данные: $h(t) = 5t^2$, $t_1 = 0{,}6$.

Шаг 2. Уровень воды поднимается — значит, расстояние до воды становится меньше, а время падения камешка уменьшается. Значит, новое время: $$t_2 = t_1 - 0{,}2 = 0{,}6 - 0{,}2 = 0{,}4 \text{ с}.$$

Шаг 3. Считаем расстояние до воды в обоих случаях: $$h_1 = 5 \cdot (0{,}6)^2 = 5 \cdot 0{,}36 = 1{,}8 \text{ м},$$ $$h_2 = 5 \cdot (0{,}4)^2 = 5 \cdot 0{,}16 = 0{,}8 \text{ м}.$$

Шаг 4. Уровень воды поднялся на разницу расстояний: $$\Delta h = h_1 - h_2 = 1{,}8 - 0{,}8 = 1 \text{ м}.$$

Шаг 5. Проверяем смысл: время падения действительно уменьшилось (вода стала ближе), значения положительны, ответ разумен.

Ответ: 1 метр.

Важный момент: в этой задаче не нужно решать квадратное уравнение в чистом виде — достаточно просто подставить значения в готовую квадратичную формулу дважды и вычесть результаты. Ошибка, которую часто допускают: считают, что время увеличилось (то есть $t_2 = 0{,}8$), перепутав направление изменения. Нужно логически понять: чем выше уровень воды, тем меньше расстояние падения и тем меньше время.

Пример 2. Задача про выручку монополиста

Условие: объём спроса на продукцию задаётся формулой $$q = 100 - 10p,$$ где $p$ — цена в тысячах рублей, $q$ — объём спроса (единиц в месяц). Выручка вычисляется по формуле $$r(p) = q \cdot p.$$ Нужно найти наибольшую цену $p$, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб.

Шаг 1. Подставляем формулу спроса в формулу выручки: $$r(p) = (100 - 10p) \cdot p = 100p - 10p^2.$$

Шаг 2. Составляем неравенство по условию «выручка не менее 240»: $$100p - 10p^2 \ge 240.$$

Шаг 3. Приводим к стандартному виду. Переносим всё в одну сторону: $$-10p^2 + 100p - 240 \ge 0.$$ Умножаем обе части на $-1$ (не забываем сменить знак неравенства): $$10p^2 - 100p + 240 \le 0.$$ Делим на 10: $$p^2 - 10p + 24 \le 0.$$

Шаг 4. Решаем квадратное уравнение $p^2 - 10p + 24 = 0$ для нахождения корней. Дискриминант: $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4.$$ $$\sqrt{D} = 2.$$ Корни: $$p_{1,2} = \frac{10 \pm 2}{2},$$ $$p_1 = \frac{10-2}{2} = 4, \quad p_2 = \frac{10+2}{2} = 6.$$

Шаг 5. Так как ветви параболы $p^2-10p+24$ направлены вверх (коэффициент при $p^2$ положительный), выражение меньше или равно нулю между корнями: $$4 \le p \le 6.$$

Шаг 6. Проверяем область допустимых значений: цена должна быть положительной, а объём спроса — неотрицательным, то есть $q = 100-10p \ge 0$, откуда $p \le 10$. Это условие выполняется на всём найденном промежутке, значит, ограничений больше нет.

Шаг 7. По условию требуется наибольшая цена, при которой выручка не менее 240. Из промежутка $[4;6]$ наибольшее значение — это $p=6$.

Ответ: 6 тыс. руб.

Здесь ключевая идея — правильно составить квадратичную функцию выручки как произведение цены и объёма, а затем решить квадратное неравенство, не забыв про смену знака при умножении на отрицательное число.

Типичные ошибки

Ошибка в направлении изменения величины. В задачах вроде примера с колодцем легко перепутать, увеличивается или уменьшается искомая величина. Нужно всегда рассуждать логически: если что-то «поднимается» — расстояние уменьшается; если «падает» — увеличивается.

Забывают сменить знак неравенства при умножении/делении на отрицательное число. Это самая частая техническая ошибка при работе с квадратичными неравенствами вида «выручка не менее...», когда после переноса членов коэффициент при $p^2$ отрицательный.

Не проверяют область допустимых значений переменной. Корни уравнения или концы промежутка неравенства могут не соответствовать смыслу задачи (отрицательная цена, отрицательный объём спроса, отрицательное время). Всегда нужно проверять полученный ответ на физическую или экономическую осмысленность.

Выбирают не тот корень или не ту границу. Если спрашивается наибольшее значение переменной, а получен промежуток $[4;6]$, важно выбрать именно правую границу, а не левую или произвольное число из промежутка.

Ошибки при подстановке чисел в формулу. Особенно при работе с десятичными дробями — легко ошибиться при возведении в квадрат числа вроде $0{,}6$ или $0{,}4$. Стоит проверять вычисления повторно.

Путаница в единицах измерения. Если цена дана в тысячах рублей, а ответ просят в тысячах рублей — не нужно домножать или делить на 1000 дополнительно. Всегда сверяйте единицы измерения из условия с единицами ответа.

Неверное раскрытие скобок при составлении функции. В задачах на выручку часто забывают, что $r(p) = p \cdot q(p)$ — это произведение, а не сумма, и при подстановке линейной функции спроса нужно правильно раскрыть скобки, распределив множитель.

На что обратить внимание на экзамене

Перед тем как решать уравнение, обязательно перечитайте условие ещё раз и убедитесь, что правильно поняли, какая величина ищется и какое условие на неё наложено (равенство, неравенство, «не более», «не менее», «наибольшее», «наименьшее»). Именно неверная интерпретация условия — причина большинства ошибок в этом задании, а не сложность самих вычислений.

После нахождения корней или промежутка решения всегда возвращайтесь к контексту задачи: подставьте полученное значение переменной обратно в условие и проверьте, что оно даёт разумный, физически осмысленный результат. Если получили отрицательное время, отрицательную цену или отрицательный объём — где-то допущена ошибка.

Если задача решается через неравенство, а не уравнение, не забывайте, что ответом может быть не одно число, а промежуток, и внимательно смотрите, что именно спрашивается — конкретное значение на границе промежутка (наибольшее или наименьшее) или весь промежуток целиком.

Следите за арифметикой при работе с десятичными дробями и при вычислении дискриминанта — в этой части задания вычислительная ошибка на последнем шаге сводит на нет правильный ход решения. Полезно всегда делать проверку, подставляя найденный ответ в исходное уравнение или неравенство.

Наконец, обращайте внимание на единицы измерения в условии и в требуемом ответе — иногда единицы совпадают напрямую, а иногда требуется дополнительный пересчёт. Внимательность на этом последнем шаге экономит баллы, которые могли быть потеряны из-за невнимательности, а не из-за незнания метода.