Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Подставим известные значения параметров в формулу температуры:

$$T(t) = 1400 + 200t - 10t^2$$

Прибор испортится, если температура превысит 1760 К. Нужно найти, при каких значениях времени $T(t) \leq 1760$:

$$1400 + 200t - 10t^2 \leq 1760$$

Перенесём 1760 влево и упростим:

$$-10t^2 + 200t - 360 \leq 0$$

Разделим обе части на $-10$ (при делении на отрицательное число неравенство меняет знак):

$$t^2 - 20t + 36 \geq 0$$

Найдём корни квадратного уравнения $t^2 - 20t + 36 = 0$ по дискриминанту:

$$D = 400 - 144 = 256 = 16^2$$

$$t = \frac{20 \pm 16}{2}$$

Получаем $t_1 = 2$ и $t_2 = 18$.

Парабола $t^2 - 20t + 36$ ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 20t + 36 \geq 0$ выполняется при $t \leq 2$ или $t \geq 18$.

В начальный момент ($t = 0$) температура составляет 1400 К — ниже опасной. При возрастании времени температура сначала растёт. При $t = 2$ достигается критическое значение 1760 К. После этого, при $2 < t < 18$, температура превышает допустимый предел.

Следовательно, прибор нужно отключить в момент $t = 2$ минуты — в последний допустимый момент, прежде чем начнётся опасное превышение температуры.