Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Подставим известные значения в формулу температуры. Так как $T_0 = 25$ °C, получаем: $$T = -t^2 + 14t + 25$$

Нам нужно найти, когда температура не менее 70 °C, поэтому составим неравенство: $$-t^2 + 14t + 25 \geq 70$$

Перенесём 70 в левую часть: $$-t^2 + 14t + 25 - 70 \geq 0$$ $$-t^2 + 14t - 45 \geq 0$$

Умножим обе части на −1 (при этом знак неравенства меняется на противоположный): $$t^2 - 14t + 45 \leq 0$$

Найдём корни квадратного уравнения $t^2 - 14t + 45 = 0$ через дискриминант: $$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 196 - 180 = 16$$ $$t = \frac{14 \pm 4}{2}$$

Получаем: $t_1 = 5$ и $t_2 = 9$

Параболу $t^2 - 14t + 45$ ветвями вверх пересекает ось абсцисс в точках 5 и 9. Неравенство $t^2 - 14t + 45 \leq 0$ выполняется между корнями: $$5 \leq t \leq 9$$

Прибор нагревается и остывает в интервале от 5 до 9 минут. Продолжительность этого периода: $9 - 5 = 4$ минуты.