Задача 27959. Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Шаг 1. Подставим известные значения в формулу.

Даны: $H_0 = 20$ м, $k = \frac{1}{50}$, $g = 10$ м/с².

Подставляем в формулу $H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0} \cdot kt + \frac{g}{2}k^2t^2$:

$$H(t) = 20 - \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} \cdot \frac{1}{50} \cdot t + \frac{10}{2} \cdot \frac{1}{2500} \cdot t^2$$

Шаг 2. Упростим выражение.

$\sqrt{400} = 20$, поэтому:

$$H(t) = 20 - 20 \cdot \frac{1}{50} \cdot t + 5 \cdot \frac{1}{2500} \cdot t^2 = 20 - 0,4t + 0,002t^2$$

Шаг 3. Определим, при какой высоте останется четверть объёма.

Объём воды пропорционален высоте столба (площадь дна одна и та же). Четверть первоначального объёма соответствует четверти высоты: $H = \frac{20}{4} = 5$ м.

Шаг 4. Составим и решим уравнение.

Приравняем $H(t) = 5$:

$$0,002t^2 - 0,4t + 20 = 5$$ $$0,002t^2 - 0,4t + 15 = 0$$

Умножим на 500:

$$t^2 - 200t + 7500 = 0$$

По формуле Виета или дискриминанту:

$$D = 40000 - 30000 = 10000, \quad \sqrt{D} = 100$$ $$t = \frac{200 \pm 100}{2}$$

Получаем $t_1 = 50$ с и $t_2 = 150$ с.

Шаг 5. Выберем нужный корень.

Меньший корень $t = 50$ с — это момент, когда вода падает до уровня четверти. Больший корень соответствовал бы моменту закрытия крана (физически не рассматриваем). Ответ: 50 секунд.