Задача 27957. Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Нужно найти время, в течение которого мяч находится на высоте $h(t) \geq 3$ м.

Шаг 1. Найдём моменты, когда высота равна 3 метрам.

Приравняем функцию к 3: $$1,6 + 8t - 5t^2 = 3$$

Перенесём всё в левую часть: $$-5t^2 + 8t + 1,6 - 3 = 0$$ $$-5t^2 + 8t - 1,4 = 0$$

Умножим на $-1$ для удобства: $$5t^2 - 8t + 1,4 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение.

Дискриминант: $D = 64 - 4 \cdot 5 \cdot 1,4 = 64 - 28 = 36$

$$t = \frac{8 \pm 6}{10}$$

Получаем: $t_1 = \frac{8 - 6}{10} = 0,2$ и $t_2 = \frac{8 + 6}{10} = 1,4$

Шаг 3. Интерпретируем результат.

Парабола $h(t) = 1,6 + 8t - 5t^2$ ветвями направлена вниз (коэффициент при $t^2$ отрицательный). Это значит, что функция возрастает до некоторого момента, потом убывает. Мяч достигает высоты 3 м в момент $t = 0,2$ с (при движении вверх) и вновь опускается до этой высоты в момент $t = 1,4$ с (при движении вниз). Между этими моментами высота больше 3 м.

Шаг 4. Вычислим время.

Длительность нахождения на высоте не менее 3 м: $$\Delta t = 1,4 - 0,2 = 1,2 \text{ сек}$$