ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Задача 27961. Квадратные и степенные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Квадратные и степенные уравнения и неравенства2.1.1 Квадратные уравнения

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой y = ax в квадрате плюс bx, где a = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 100 конец дроби  м в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка , b=1  — постоянные параметры, x левая круглая скобка м правая круглая скобка   — смещение камня по горизонтали, y левая круглая скобка м правая круглая скобка   — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

В подтеме 18 задач
Разбор
Главная идея: Условие «пролетать над стеной на высоте не менее 1 метра» превращается в неравенство для траектории, решение которого даёт промежуток расстояний, где это возможно; правый конец этого промежутка — искомый максимум.

Определим условие задачи. Камни должны пролетать над стеной на высоте не менее 1 метра. Стена имеет высоту 8 м, значит камень должен находиться на высоте не менее 8+1=98 + 1 = 9 м в точке, где он находится над стеной.

Подставим значения параметров в уравнение траектории: y=−1100x2+xy = -\frac{1}{100}x^2 + x

Нам нужно найти все расстояния xx, при которых y≥9y \geq 9: −1100x2+x≥9-\frac{1}{100}x^2 + x \geq 9

Умножим обе части на −100-100 (при умножении на отрицательное число неравенство меняет знак): x2−100x≤−900x^2 - 100x \leq -900

Перенесём всё в левую часть: x2−100x+900≤0x^2 - 100x + 900 \leq 0

Решим квадратное уравнение x2−100x+900=0x^2 - 100x + 900 = 0 через дискриминант: D=10000−3600=6400=802D = 10000 - 3600 = 6400 = 80^2

x=100±802x = \frac{100 \pm 80}{2}

Получаем два корня: x1=10x_1 = 10 м и x2=90x_2 = 90 м.

Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство x2−100x+900≤0x^2 - 100x + 900 \leq 0 выполняется при 10≤x≤9010 \leq x \leq 90.

Это означает, что камни пролетают на требуемой высоте, если машина находится на расстоянии от 10 до 90 метров от стены. Наибольшее расстояние — 90 метров.

Типичные ошибки

  • Забыли добавить высоту стены (8 м) к высоте зазора (1 м) — в неравенство нужно подставить y≥9y \geq 9, а не y≥1y \geq 1
  • Не изменили знак неравенства при умножении на отрицательное число −100-100
  • Перепутали порядок корней или неправильно определили, какой из концов промежутка [10;90][10; 90] даёт максимум расстояния

Ещё задачи этой подтемы