Задание 9 ЕГЭ, математика (профиль): Квадратные и степенные уравнения и неравенства

Определим условие задачи. Камни должны пролетать над стеной на высоте не менее 1 метра. Стена имеет высоту 8 м, значит камень должен находиться на высоте не менее $8 + 1 = 9$ м в точке, где он находится над стеной.

Подставим значения параметров в уравнение траектории: $$y = -\frac{1}{100}x^2 + x$$

Нам нужно найти все расстояния $x$, при которых $y \geq 9$: $$-\frac{1}{100}x^2 + x \geq 9$$

Умножим обе части на $-100$ (при умножении на отрицательное число неравенство меняет знак): $$x^2 - 100x \leq -900$$

Перенесём всё в левую часть: $$x^2 - 100x + 900 \leq 0$$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 100x + 900 = 0$ через дискриминант: $$D = 10000 - 3600 = 6400 = 80^2$$

$$x = \frac{100 \pm 80}{2}$$

Получаем два корня: $x_1 = 10$ м и $x_2 = 90$ м.

Парабола ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 100x + 900 \leq 0$ выполняется при $10 \leq x \leq 90$.

Это означает, что камни пролетают на требуемой высоте, если машина находится на расстоянии от 10 до 90 метров от стены. Наибольшее расстояние — 90 метров.