Задание 9 ЕГЭ: прикладные задачи с уравнениями и неравенствами

Что проверяет задание

Задание 9 проверяет умение работать с готовой формулой из физики, техники или повседневной жизни: подставлять в неё числовые данные, выражать искомую величину и решать полученное уравнение или неравенство. Здесь не нужно знать законы физики наизусть — вся формула дана в условии. Проверяется техника алгебраических преобразований: работа с дробями, степенями, корнями, показательными и логарифмическими выражениями, а также аккуратный перевод единиц измерения.

Как выглядит формулировка и сколько баллов

Типичная формулировка: «Величина $y$ вычисляется по формуле… Найдите значение параметра, при котором выполняется условие (не менее, не более, равно)». Часто встречаются задачи на КПД, электрические цепи, механику (скорость, путь, ускорение), геометрическую оптику, финансовые расчёты.

Задание оценивается в 1 первичный балл. Ответ — число (иногда с округлением), которое вносится в бланк без единиц измерения. Требуется указать единицы в самом решении (км/ч², кг, Ом и т.д.) согласно условию, но в бланк идёт только число.

Что нужно знать

• Линейное уравнение: $ax+b=0 \Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}$, при $a\neq0$.
• Линейное неравенство: при делении/умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
• Квадратное уравнение: $ax^2+bx+c=0$, $D=b^2-4ac$, $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$.
• Метод интервалов для рациональных неравенств: определить нули числителя и знаменателя, отметить на числовой прямой, определить знаки на промежутках.
• Иррациональное уравнение $\sqrt{f(x)}=g(x)$ равносильно системе: $f(x)=g^2(x)$, $g(x)\ge0$.
• Свойства степеней: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$.
• Показательное уравнение $a^x=b$ (при $a>0,\ a\neq1,\ b>0$) решается через логарифм: $x=\log_a b$.
• Показательное неравенство: если $a>1$, знак сохраняется; если $0<a<1$, знак меняется при переходе к показателям.
• Логарифм: $\log_a b=c \Leftrightarrow a^c=b$ (при $a>0,\ a\neq1,\ b>0$).
• Основное логарифмическое тождество: $a^{\log_a b}=b$.
• Свойства логарифмов: $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, $\log_a\dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y$, $\log_a x^n=n\log_a x$.
• Область определения логарифма: подлогарифмическое выражение строго положительно, основание положительно и не равно 1.
• Тригонометрические уравнения: $\sin x=a$, $\cos x=a$ при $|a|\le1$ имеют решения; иначе решений нет.
• Перевод единиц измерения: метры в километры, минуты в часы, проценты в доли — обязательный шаг перед подстановкой в формулу.
• Область допустимых значений (ОДЗ): физические величины (масса, длина, сопротивление, время) всегда положительны — это ограничивает знак неравенства при умножении/делении.

Методы решения

1. Линейные уравнения и неравенства. Применяются, когда формула после подстановки данных сводится к виду $ax+b\ \{=,\le,\ge\}\ c$. Пример: $\dfrac{378}{m}\le21$ при $m>0$ сводится к $378\le21m$, откуда $m\ge18$.

2. Рациональные уравнения и неравенства. Используются в задачах с дробными формулами вида $\dfrac{\varepsilon R}{R+r}\ge U$. Поскольку $R>0$ и $r>0$, знаменатель положителен, и можно умножать обе части на него без смены знака: $55R\ge50(R+0{,}5)\Rightarrow R\ge5$.

3. Квадратные и степенные уравнения. Возникают, когда искомая величина входит в квадрате или формула содержит корень, который после возведения в квадрат даёт квадратное уравнение. Пример: из $v^2=2la$ при известных $v,l$ находим $a=\dfrac{v^2}{2l}$.

4. Иррациональные уравнения. Формулы со скоростью, периодом колебаний часто содержат корень: $v=\sqrt{2la}$. Возводим обе части в квадрат (обе неотрицательны по физическому смыслу) и получаем линейное или квадратное уравнение относительно неизвестной.

5. Показательные и логарифмические уравнения. Встречаются в задачах на радиоактивный распад, рост бактерий, финансовые проценты: $N=N_0\cdot a^{t}$. Чтобы найти $t$, логарифмируем обе части: $t=\log_a\dfrac{N}{N_0}$.

Алгоритм решения по шагам

1. Внимательно прочитать условие, выписать формулу и обозначения всех величин.
2. Проверить единицы измерения данных и формулы — при необходимости перевести (метры в километры, минуты в часы, проценты в доли).
3. Подставить все известные числовые данные в формулу, оставив только искомую переменную.
4. Определить тип полученного уравнения или неравенства (линейное, квадратное, иррациональное, показательное и т.д.).
5. Учесть физические ограничения на переменную (положительность массы, сопротивления, времени) — это важно при умножении/делении неравенства.
6. Решить уравнение или неравенство, применяя соответствующий метод.
7. Отобрать значения, удовлетворяющие ОДЗ и физическому смыслу задачи (например, отбросить отрицательный корень).
8. Если требуется наименьшее или наибольшее значение — определить его по смыслу неравенства (монотонность функции по параметру).
9. Проверить ответ подстановкой в исходную формулу.
10. Записать ответ в требуемых единицах измерения (без указания самих единиц в бланке).

Разбор примеров

Пример 1. КПД кормозапарника определяется формулой $$\eta=\frac{c_в m_в(t_2-t_1)}{q_{др}m_{др}}\cdot100\%,$$ где $c_в=4{,}2\cdot10^3$ Дж/(кг·°C), $q_{др}=8{,}3\cdot10^6$ Дж/кг. Дано $m_в=83$ кг, $t_1=10$°C, $t_2=100$°C, $\eta\le21\%$. Найти наименьшую массу дров $m_{др}$.

Шаг 1. Считаем числитель: $$c_в m_в(t_2-t_1)=4{,}2\cdot10^3\cdot83\cdot90=3{,}1374\cdot10^7\ \text{Дж}.$$

Шаг 2. Выражаем КПД через $m$ (масса дров): $$\eta=\frac{3{,}1374\cdot10^7}{8{,}3\cdot10^6\cdot m}\cdot100\%=\frac{378}{m}\ (\%).$$

Шаг 3. Решаем неравенство $\dfrac{378}{m}\le21$ при $m>0$: $$378\le21m\ \Rightarrow\ m\ge18.$$

Ответ: наименьшая масса дров — 18 кг.

Пример 2. Напряжение на нагрузке $U=\dfrac{\varepsilon R}{R+r}$, где $\varepsilon=55$ В, $r=0{,}5$ Ом. Найти наименьшее $R$, при котором $U\ge50$ В.

Шаг 1. Записываем неравенство: $$\frac{55R}{R+0{,}5}\ge50.$$

Шаг 2. Так как $R>0$, знаменатель $R+0{,}5>0$, умножаем обе части на него, знак не меняется: $$55R\ge50(R+0{,}5).$$

Шаг 3. Раскрываем скобки: $$55R\ge50R+25\ \Rightarrow\ 5R\ge25\ \Rightarrow\ R\ge5.$$

Шаг 4. Проверка: $U=\dfrac{55\cdot5}{5{,}5}=50$ В — условие выполнено точно на границе.

Ответ: наименьшее сопротивление — 5 Ом.

Пример 3. Скорость $v=\sqrt{2la}$, путь $l=250$ м, конечная скорость $v=60$ км/ч. Найти ускорение $a$ в км/ч².

Шаг 1. Переводим путь в километры, так как формула требует именно эту единицу: $l=0{,}25$ км.

Шаг 2. Подставляем данные: $$60=\sqrt{2\cdot0{,}25\cdot a}=\sqrt{0{,}5a}.$$

Шаг 3. Возводим обе части в квадрат (обе неотрицательны): $$3600=0{,}5a.$$

Шаг 4. Находим $a$: $$a=\frac{3600}{0{,}5}=7200.$$

Ответ: ускорение — 7200 км/ч².

Типичные ошибки и ловушки

• Забыть перевести единицы измерения (метры в километры, минуты в часы, проценты в доли) перед подстановкой в формулу.
• Умножать неравенство на выражение, знак которого неизвестен, не проверив его положительность (особенно при делении на переменную величину).
• Терять знак при переносе слагаемых или раскрытии скобок в неравенстве.
• При возведении иррационального уравнения в квадрат забывать проверить знак обеих частей — можно получить посторонний корень.
• Путать «не менее» и «не более»: неверно интерпретировать направление неравенства из текста условия.
• Не учитывать физический смысл переменной (масса, время, сопротивление не могут быть отрицательными или равными нулю) и в результате брать лишний корень уравнения.
• Ошибаться в арифметике при работе со степенями десяти (например, $10^3\cdot10^6=10^9$, а не $10^{18}$).
• Забывать округлить ответ так, как требует условие (если явно указано округление), или наоборот, округлять там, где нужен точный ответ.
• Подставлять исходные (до перевода) единицы в формулу и получать ответ в неверном порядке величины.

Как готовиться

Разбирайте задачи по каждой физической области отдельно: сначала все задачи на КПД и теплоту, затем на электрические цепи, механику, оптику и финансовые проценты — так закрепляются типовые формулы и приёмы работы с ними. При решении всегда сначала записывайте формулу с обозначениями, потом переводите единицы, и только затем подставляйте числа — это уменьшает количество арифметических ошибок. Отдельно потренируйтесь на неравенствах с дробями и корнями: важно чётко понимать, когда можно умножать обе части на выражение без смены знака. Решайте задачи на время — на экзамене на это задание отводится не более 3–4 минут, поэтому стоит довести технику вычислений до автоматизма. Регулярно проверяйте себя обратной подстановкой найденного значения в исходную формулу — это лучший способ поймать ошибку до сдачи работы.