Задание 9: показательные уравнения в прикладных задачах ЕГЭ профиль

О чём эта подтема

Задание 9 профильного ЕГЭ проверяет умение работать с формулами из физики, химии, экономики и других прикладных областей. Часто в условии даётся зависимость вида $pV^{k}=\text{const}$ или похожая степенная связь между величинами, а тебе нужно найти одну из переменных при известных остальных.

Особенность этой подтемы в том, что показатель степени — не целое число, а дробь (например, $\dfrac{5}{3}$ или $1{,}4$). Это значит, что решение сводится не к обычному линейному уравнению, а к уравнению с дробной степенью, где нужно грамотно применять свойства степеней и корней. Никакой «физики» глубоко знать не требуется — все нужные формулы даны в условии, задача чисто алгебраическая: выразить неизвестную переменную из степенного уравнения.

Такие задачи часто пугают формулировкой (адиабатический процесс, поршень, атмосферы), но по сути это тренировка на работу со степенями с рациональным показателем и на решение уравнений вида $x^{k}=a$.

Что нужно знать

Для решения этой подтемы достаточно твёрдо знать несколько свойств степеней и уметь их применять в обе стороны.

1. Определение степени с рациональным показателем. $$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^{m}},\qquad a>0.$$

2. Свойство возведения степени в степень. $$\left(a^{p}\right)^{q}=a^{pq}.$$ Это ключевое свойство: если у тебя есть $V^{k}=b$, то чтобы найти $V$, нужно возвести обе части в степень $\dfrac{1}{k}$ (обратную к $k$): $$\left(V^{k}\right)^{1/k}=V^{k\cdot 1/k}=V^{1}=V.$$

3. Свойство $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{k}=\dfrac{a^{k}}{b^{k}}$ — полезно, когда переменная входит в отношение (как во втором примере, где рассматривается $\left(\dfrac{V_2}{V_1}\right)^{1,4}$).

4. Умение представлять число в виде степени двойки, тройки и т. д. Например, $\dfrac{1}{32}=2^{-5}$, $128=2^{7}$. Это критически важно: почти все числа в таких задачах специально подобраны так, чтобы после преобразований получалась «красивая» степень числа 2 (реже — другого простого числа). Если видишь дробь вида $\dfrac{1}{32}$, $\dfrac{1}{128}$, число $3{,}2\cdot10^{6}$ — сразу пробуй разложить на степени двойки или десятки.

5. Правила работы со степенями с одинаковым основанием: $$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n},\qquad \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$$

6. Понимание, что физический закон типа $pV^{k}=\text{const}$ означает: произведение $p\cdot V^{k}$ одинаково в любой момент процесса. Отсюда следует равенство для двух состояний системы: $$p_1V_1^{k}=p_2V_2^{k}.$$ Это просто способ связать «было» и «стало», а не какая-то новая математика — обычное уравнение с двумя неизвестными, где одна из четырёх величин ищется.

Больше ничего специфического знать не нужно — весь остальной аппарат (проценты, логарифмы, тригонометрия) в этой подтеме не задействован.

Как решать: метод и алгоритм

Алгоритм решения задач с прикладными показательными уравнениями почти всегда одинаковый.

Шаг 1. Выпиши формулу из условия. Обозначь, какая величина неизвестна, а какие даны. Если в задаче фигурируют два состояния системы («было» и «стало» — например, объём и давление менялись), сразу запиши закон сохранения: $$p_1V_1^{k}=p_2V_2^{k}.$$ Если состояние одно (просто даны все величины, кроме одной), используй формулу напрямую: $pV^{k}=\text{const}$, где $\text{const}$ известна.

Шаг 2. Подставь известные числовые значения. Аккуратно переведи единицы измерения, если это требуется (например, паскали в мегапаскали или литры в кубометры — но обычно в задаче единицы уже согласованы).

Шаг 3. Выдели степень неизвестной переменной в чистом виде. То есть перенеси все известные множители в одну сторону, чтобы получить уравнение вида: $$x^{k}=A.$$ Если неизвестная величина участвует в отношении (как объёмы в примере 2), удобно поделить обе части на известное значение и получить: $$\left(\frac{x}{x_0}\right)^{k}=A.$$

Шаг 4. Представь правую часть $A$ в виде степени с тем же основанием, которое удобно возвести в степень $\dfrac{1}{k}$. Обычно это степень двойки, реже — другого простого числа. Раскладывай числа на множители, ищи закономерность.

Шаг 5. Возведи обе части уравнения в степень $\dfrac{1}{k}$ (то есть примени обратную операцию к возведению в степень $k$): $$x=A^{1/k}.$$ Если $A=2^{n}$, то $x=2^{n/k}$ — и дробь $\dfrac{n}{k}$ почти всегда сокращается до целого или простого рационального числа.

Шаг 6. Проверь размерность и здравый смысл ответа. Если получилось отрицательное давление или огромный объём при сжатии — где-то ошибка.

Шаг 7. Если в задаче есть ограничение (неравенство, «не более», «не менее»), реши уравнение на границе допустимого значения, а затем определи, какое из двух состояний (большее или меньшее значение искомой величины) соответствует условию задачи. Обычно при увеличении давления объём уменьшается (обратная зависимость), это нужно учитывать при выборе, какое значение — максимальное или минимальное давление — использовать в расчётах.

Разбор примера

Пример 1

Условие. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон $$pV^{k}=10^{5}\ \text{Па}\cdot\text{м}^{5}, \qquad k=\frac{5}{3}.$$ Найдите объём $V$ (в куб. м), если давление $p=3{,}2\cdot10^{6}$ Па.

Шаг 1. Формула уже дана в готовом виде, состояние одно, значит просто выражаем $V^{k}$ из уравнения: $$V^{5/3}=\frac{10^{5}}{p}.$$

Шаг 2. Подставляем известное давление: $$V^{5/3}=\frac{10^{5}}{3{,}2\cdot10^{6}}.$$

Шаг 3. Упрощаем дробь: $$\frac{10^{5}}{3{,}2\cdot10^{6}}=\frac{1}{3{,}2\cdot10}=\frac{1}{32}.$$ Это число раскладывается на степень двойки: $$\frac{1}{32}=2^{-5}.$$ Получаем: $$V^{5/3}=2^{-5}.$$

Шаг 4. Возводим обе части уравнения в степень $\dfrac{3}{5}$ — это обратная степень к $\dfrac{5}{3}$, ведь $\dfrac{5}{3}\cdot\dfrac{3}{5}=1$: $$\left(V^{5/3}\right)^{3/5}=\left(2^{-5}\right)^{3/5}.$$ Слева получаем просто $V$ (по свойству $\left(a^{p}\right)^{q}=a^{pq}$), справа — показатель $-5\cdot\dfrac{3}{5}=-3$: $$V=2^{-3}=\frac{1}{8}=0{,}125.$$

Шаг 5. Проверка. Подставим найденный объём обратно: $$0{,}125^{5/3}=(2^{-3})^{5/3}=2^{-5}=\frac{1}{32}.$$ Тогда давление $p=\dfrac{10^{5}}{1/32}=10^{5}\cdot32=3{,}2\cdot10^{6}$ Па — совпадает с условием.

Ответ: $V=0{,}125$ куб. м.

Пример 2

Условие. Для адиабатического сжатия газа выполняется закон $$pV^{1,4}=\text{const},$$ где $p$ — давление в атмосферах, $V$ — объём в литрах. Изначально $V_1=1{,}6$ л, $p_1=1$ атм. Поршень выдерживает давление не более 128 атм. Найдите минимальный объём, до которого можно сжать газ.

Шаг 1. Так как есть начальное и конечное состояние системы, записываем закон сохранения произведения $pV^{1,4}$: $$p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4}.$$

Шаг 2. Так как давление и объём связаны обратной зависимостью (чем меньше объём, тем больше давление), минимальный объём достигается именно при максимально допустимом давлении. Поэтому берём $p_2=128$ атм: $$1\cdot 1{,}6^{1,4}=128\cdot V_2^{1,4}.$$

Шаг 3. Выражаем степень неизвестного объёма через известные величины, для удобства формируем отношение $\dfrac{V_2}{V_1}$: $$V_2^{1,4}=\frac{1{,}6^{1,4}}{128}\quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{V_2}{1{,}6}\right)^{1,4}=\frac{1}{128}.$$

Шаг 4. Раскладываем правую часть на степень двойки: $$\frac{1}{128}=2^{-7}.$$ Получаем уравнение: $$\left(\frac{V_2}{1{,}6}\right)^{1,4}=2^{-7}.$$

Шаг 5. Возводим обе части в степень $\dfrac{1}{1,4}$ (обратную к показателю $1,4$): $$\frac{V_2}{1{,}6}=2^{-7/1,4}=2^{-5}=\frac{1}{32}.$$ Здесь дробь $\dfrac{7}{1{,}4}=5$ сокращается ровно до целого числа — это признак того, что вычисления идут верно.

Шаг 6. Находим искомый объём: $$V_2=\frac{1{,}6}{32}=0{,}05\ \text{л}.$$

Ответ: минимальный объём равен $0{,}05$ л.

Оба примера показывают одну и ту же схему: выразить степень неизвестной величины, разложить число на удобное основание (обычно 2), а затем возвести обе части уравнения в обратную степень.

Типичные ошибки

Ошибка в направлении возведения в степень. Часто путают, в какую степень нужно возводить: вместо $\dfrac{1}{k}$ берут $k$ или забывают, что $\left(a^{p}\right)^{q}=a^{pq}$, а не $a^{p+q}$. Важно чётко понимать: если у тебя $x^{k}=A$, то $x=A^{1/k}$, и никак иначе.

Неверное разложение числа на степень. Иногда сложно сразу увидеть, что $\dfrac{1}{128}=2^{-7}$ или $3{,}2\cdot10^{6}$ хорошо делится на $10^{5}$. Стоит потренироваться быстро раскладывать степени двойки: $2,4,8,16,32,64,128,256$ — эти числа встречаются почти в каждой такой задаче.

Путаница с выбором нужного состояния при неравенствах. В задачах с ограничением («давление не более…», «объём не менее…») легко перепутать, какое из двух значений (максимум или минимум) даёт нужный ответ. Нужно чётко понимать физический смысл: при увеличении давления объём уменьшается, и наоборот — это обратная зависимость, а не прямая.

Ошибки в дробных показателях при вычислениях. При работе с $k=1{,}4=\dfrac{7}{5}$ или $k=\dfrac{5}{3}$ легко ошибиться в арифметике дробей. Лучше сразу переводить десятичные показатели в обыкновенные дроби ($1{,}4=\dfrac{7}{5}$), так проще возводить в обратную степень.

Забывают проверить результат. Простая подстановка найденного значения обратно в исходное уравнение позволяет быстро обнаружить арифметическую ошибку — это стоит делать всегда, особенно на экзамене, где на кону баллы.

Ошибки в переводе единиц измерения. Если в условии величины даны в разных единицах (например, паскали и мегапаскали), нужно сначала привести всё к одной системе, иначе искомая величина будет неверной на несколько порядков.

На что обратить внимание на экзамене

В задании 9 с показательными уравнениями главное — не пугаться сложной формулировки про физику или химию. Формула всегда дана в условии, все данные тоже есть — задача сводится к чисто алгебраическому действию: получить уравнение вида $x^{k}=A$ и решить его через возведение в обратную степень.

Перед тем как начать вычисления, обязательно проверь, что понимаешь смысл каждой переменной и единицы измерения. Затем сразу постарайся разложить все числовые значения на степени простых чисел (чаще всего двойки) — это резко упрощает дальнейшие действия и снижает риск арифметической ошибки.

Если в задаче упоминается ограничение («не более», «не менее», «минимальный/максимальный»), обязательно подумай о характере зависимости между величинами: прямая она или обратная. Это определит, какое из значений (максимум или минимум одной переменной) соответствует экстремальному значению другой.

После получения ответа сделай быструю проверку подстановкой — это занимает меньше минуты, но полностью исключает арифметические ошибки в показателях степеней. Также убедись, что ответ имеет физический смысл: объём и давление не могут быть отрицательными, а порядок величины должен быть разумным.

Наконец, будь внимателен с дробными показателями — держи в голове базовые обратные пары: $\dfrac{5}{3}$ и $\dfrac{3}{5}$, $1{,}4=\dfrac{7}{5}$ и $\dfrac{5}{7}$, $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{3}{2}$. Их произведение всегда равно единице, и именно на этом строится весь метод решения таких задач.