ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Показательные уравнения и неравенства

Задача 42849. Показательные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Показательные уравнения и неравенства2.1.5 Показательные уравнения

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV в степени a = const,$ где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение в 25 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 5 раз?

В подтеме 7 задач

Разбор

Главная идея: Используя закон процесса

pV^a = \text{const}

, выражаем отношение давлений через отношение объёмов, затем решаем показательное неравенство относительно

a

Обозначим начальные параметры газа как $p_1$ и $V_1$ , конечные — как $p_2$ и $V_2$ .

Из условия $pV^a = \text{const}$ следует, что для начального и конечного состояний: $p_1V_1^a = p_2V_2^a$

Выразим отношение давлений: $\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1^a}{V_2^a} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^a$

По условию объём уменьшился в 25 раз, значит: $\frac{V_1}{V_2} = 25$

Давление должно увеличиться не менее, чем в 5 раз: $\frac{p_2}{p_1} \geq 5$

Подставим отношение объёмов: $25^a \geq 5$

Преобразуем 25 как степень 5: $(5^2)^a \geq 5$ $5^{2a} \geq 5^1$

Поскольку основание 5 > 1, показательная функция возрастает, поэтому: $2a \geq 1$ $a \geq 0,5$

Наименьшее значение $a$ , удовлетворяющее этому условию, равно $0,5$ .

Типичные ошибки

Забыли, что из равенства $pV^a = \text{const}$ следует пропорциональность давлений степени отношения объёмов
Неправильно преобразовали $25^a \geq 5$ — нужно записать 25 как $5^2$ и приравнять показатели
Нашли значение $a = 0,5$ , но не проверили, что это именно наименьшее значение, а не граница неравенства

Задача 42849. Показательные уравнения и неравенства

Типичные ошибки

Ещё задачи этой подтемы