Задача 525114. Показательные уравнения и неравенства

Шаг 1. Подставляем известные значения в формулу адиабатического процесса.

Дано: $p_1 = 1$ атм, $V_1 = 256$ л, $p_2 = 128$ атм, $V_2 = ?$

Формула: $p_1V_1^{1,4} = p_2V_2^{1,4}$

Получаем уравнение: $$1 \cdot 256^{1,4} = 128 \cdot V_2^{1,4}$$

Шаг 2. Преобразуем показатель степени в удобный вид.

Заметим, что $1,4 = \frac{7}{5}$. Чтобы избавиться от дробного показателя, возведём обе части уравнения в степень $\frac{5}{7}$ (это взаимно обратная степень):

$$\left(256^{\frac{7}{5}}\right)^{\frac{5}{7}} = \left(128 \cdot V_2^{\frac{7}{5}}\right)^{\frac{5}{7}}$$

$$256 = 128^{\frac{5}{7}} \cdot V_2$$

Шаг 3. Вычислим $128^{\frac{5}{7}}$.

Представим 128 как степень двойки: $128 = 2^7$

$$128^{\frac{5}{7}} = (2^7)^{\frac{5}{7}} = 2^{7 \cdot \frac{5}{7}} = 2^5 = 32$$

Шаг 4. Находим $V_2$.

$$256 = 32 \cdot V_2$$

$$V_2 = \frac{256}{32} = 8 \text{ л}$$