Задача 27992. Показательные уравнения и неравенства

Исходная процесс описывается уравнением $pV^a = \text{const}$.

Шаг 1. Запишем это условие для начального и конечного состояний газа: $$p_1 V_1^a = p_2 V_2^a$$

Шаг 2. Выразим отношение давлений через отношение объёмов. Разделим левую часть на правую: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{V_1^a}{V_2^a} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^a$$

Это следует из свойства степеней: $\frac{x^a}{y^a} = \left(\frac{x}{y}\right)^a$.

Шаг 3. Используем условия задачи. По условию объём уменьшился в 2 раза, то есть $V_2 = \frac{V_1}{2}$, откуда: $$\frac{V_1}{V_2} = 2$$

Шаг 4. Подставим в формулу отношения давлений: $$\frac{p_2}{p_1} = 2^a$$

Шаг 5. Давление должно увеличиться не менее чем в 4 раза, то есть: $$\frac{p_2}{p_1} \geq 4$$

Получаем неравенство: $$2^a \geq 4$$

Шаг 6. Заметим, что $4 = 2^2$, поэтому: $$2^a \geq 2^2$$

Поскольку показательная функция $2^x$ монотонно возрастает, это эквивалентно: $$a \geq 2$$

Шаг 7. Наименьшее значение $a$, удовлетворяющее этому неравенству, равно $a = 2$.