ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Показательные уравнения и неравенства

Задача 27991. Показательные уравнения и неравенства

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 9Показательные уравнения и неравенства2.1.5 Показательные уравнения

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m левая круглая скобка t правая круглая скобка = m_0 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: t, знаменатель: T конец дроби правая круглая скобка , где m_0  — начальная масса изотопа, t  — время, прошедшее от начального момента, T  — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

В подтеме 7 задач
Разбор
Главная идея: Подставить параметры в формулу распада и решить показательное уравнение путём приведения обеих частей к одному основанию 2, затем сравнить показатели степеней.

Подставим известные значения в формулу распада. Дано: m0=40m_0 = 40 мг, T=10T = 10 мин, нужно найти tt, при котором m(t)=5m(t) = 5 мг.

40⋅2−t10=540 \cdot 2^{-\frac{t}{10}} = 5

Разделим обе части на 40: 2−t10=540=182^{-\frac{t}{10}} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}

Заметим, что 18=2−3\frac{1}{8} = 2^{-3} (так как 23=82^3 = 8). Подставим: 2−t10=2−32^{-\frac{t}{10}} = 2^{-3}

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: −t10=−3-\frac{t}{10} = -3

Умножим обе части на −10-10: t=30t = 30

Проверка: m(30)=40⋅2−3010=40⋅2−3=40⋅18=5m(30) = 40 \cdot 2^{-\frac{30}{10}} = 40 \cdot 2^{-3} = 40 \cdot \frac{1}{8} = 5 мг. ✓

Типичные ошибки

  • Неправильно вычислить 18\frac{1}{8} как степень двойки (забыть минус в показателе)
  • Ошибка при делении: вместо 540=18\frac{5}{40} = \frac{1}{8} написать другую дробь
  • Забыть изменить знак при умножении на −10-10 и получить t=−30t = -30

Ещё задачи этой подтемы